To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Całki nieoznaczone
1
Całkowanie przez części i przez podstawienie.
• Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne, to
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −
u (x)v(x)dx
• Całkowanie przez podstawienie. Jeśli funkcja x = f (t) ma ciągłą pochodną f (t) na przedziale T ,
to dla funkcji g(x) określonej na przedziale f (T ) zachodzi
g(x) dx =
g[f (t)]f (t) dt
• Podstawowe wzory całkowania:
xα+1
+C
α+1
ax
+C
ln a
dx
= ln |x| + C
x
ax dx =
ex dx = ex + C
dx
= arc tg x + C
1 + x2
dx
1
x
= arc tg + C
a2 + x2
a
a
dx
= − ctg x + C
sin2 x
dx
= tg x + C
cos2 x
√
sin x dx = − cos x + C
cos x dx = sin x + C
xα dx =
√
(α = −1)
dx
x
+C
= arc sin
|a|
a2 − x2
dx
= arc sin x + C
1 − x2
1. Policzyć całki, wykorzystując jedynie wzory podstawowe:
a)
x+1
dx
x
b)
e)
tg2 x dx
f)
4−x
√ dx
2+ x
sin 2x
m)
dx
cos x
i)
j)
n)
x4
dx
1 + x2
ex − 4 · 3x + 2x
dx
3x
x2 + x + 1
dx
x(x2 + 1)
(1 − x)2
√ dx
x x
c)
g)
k)
o)
27 + x
√ dx
3+ 3x
x
sin2 dx
2
cos 2x
dx
cos x − sin x
√
√
x4x−23 x4x
√
dx
x
x2
dx
x2 + 1
1
dx
2
sin x cos2 x
2
5x
+√
dx
3
x
x
sin2 x
dx
1 + cos x
d)
h)
l)
p)
2. Policzyć całki, w których argument jest funkcją liniową zmiennej x :
a)
e7x dx
3. Policzyć całki postaci
b)
c)
cos 4xdx
f (x)
dx :
f (x)
a)
ex
dx
ex + 3
1
dx
x+2
b)
tg xdx
c)
sin x cos(cos x)dx
d)
g)
cos(ln x)
dx
x
h)
d)
c)
x
dx d)
+2
5x2
4. Policzyć całki przez podstawienie
√
a)
e)
1 + ln x
dx
√x
x
√ dx
4
1 + x3
b)
f)
e2x
√
dx
4
1 + ex
x
√
dx
1 + x2
e3x+4 dx
1
dx
x ln x
1 1/x
e dx
x2
1
dx
x ln x ln(ln x)
5. Policzyć całki przez części:
a)
x2 e3x dx
b)
x2 sin 2x dx
c)
x2 ln x dx
d)
ln2 x dx
e)
x
dx
cos2 x
f)
xex
dx
(1 + x)2
g)
ln(sin x)
dx
sin2 x
h)
x arc tg x dx
Biotechnologia I sem. M.Twardowska
Całki nieoznaczone
2
6. Policzyć całki:
a)
arc sin x dx
b)
e2x sin 3x dx
c)
e)
x3
dx
(1 + x)3
f)
ln x − 1
dx
ln2 x
g)
x
dx
(1 + x2 )4
x
√ dx
3
1 + x2
d)
arc tg
h)
√
2x − 1 dx
x3
dx
e x2
Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
• Całki z funkcji postaci sinn x cosm x. Jeżeli któraś z liczb n lub m jest nieparzysta, to stosujemy
podstawienie t = sin x (gdy m jest nieparzyste) względnie t = cos x (gdy n jest nieparzyste).
Jeżeli natomiast oba wykładniki są parzyste, to możemy obniżyć potęgi sin x i cos x za pomocą
wzorów trygonometrycznych:
sin2 x =
1 1
− cos 2x,
2 2
cos2 x =
1 1
+ cos 2x,
2 2
sin x cos x =
1
sin 2x itp.
2
• Całki z funkcji tgn x i ctgm x liczymy za pomocą podstawienia odpowiednio t = tg x lub t = ctg x.
• Ogólnie, całki z funkcji postaci R(sin x, cos x) (R(x, y) – funkcja wymierna zmiennych x i y)
x
możemy obliczyć, stosując podstawienie t = tg .
2
2t
1 − t2
2 dt
Wtedy sin x =
, cos x =
, x = 2 arc tg t, dx =
. Podstawienie to sprowadza
2
2
1+t
1+t
1 + t2
funkcję podcałkową do funkcji wymiernej zmiennej t.
• Jezeli całkujemy funkcję R(sin2 x, cos2 x, sin x cos x)
(R(x, y, z) – funkcja wymierna zmiennych x, y
x
t
1
i z), to
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)