Akustyka-zadania

Nasza ocena:

3
Pobrań: 56
Wyświetleń: 1316
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Akustyka-zadania - strona 1 Akustyka-zadania - strona 2 Akustyka-zadania - strona 3

Fragment notatki:

9. Akustyka.
Wybór i opracowanie zadań 9.1-9.14: Ryszard J. Barczyński
9.1. W roku 2146 policjant zamierzał ukarać mandatem kierowcę, który nie zatrzymał się na
dźwięk jego gwizdka o częstotliwości f0=1000Hz. Kierowca tłumaczył się, że nie mógł
usłyszeć gwizdka, gdyż na skutek zjawiska Dopplera wysokość docierającego do niego
dźwięku wyszła poza zakres słyszalności. Policjant ukarał go wtedy mandatem za
przekroczenie maksymalnej dopuszczalnej na obszarze zabudowanym prędkości 180m/s. Czy
miał rację?
9.2. Okręt podwodny płynący ze stałą prędkością vz=10m/s wysyła w kierunku swojego ruchu
impuls ultradźwiękowy o częstotliwości f=30kHz, który wraca po upływie czasu t=0,6s i ma
częstotliwość f1=30,3kHz. W jakiej odległości znajduje się obiekt, od którego odbił się impuls
i z jaką prędkością się porusza? Prędkość dźwięku w wodzie wynosi c=1450m/s.
9.3. Samochód straży pożarnej wyposażony w sygnał o częstotliwości dźwięku f0=1200Hz
wyrusza z remizy ruchem jednostajnie przyspieszonym. Po czasie t=20s dyżurujący w
remizie strażak zarejestrował dźwięk o częstotliwości f=1100Hz. Jak daleko od remizy
znajdował się wtedy samochód? Prędkość dźwięku wynosi c=340m/s.
9.4. Policyjny radiowóz i uciekający przed nim samochód poruszają się w tym samym
kierunku z tą samą prędkością v. Czy pasażerowie uciekającego samochodu usłyszą zmianę
wysokości dźwięku syreny radiowozu? Jak zmieni się wysokość dźwięku syreny gdy to oni
będą gonili uciekający radiowóz?
9.5. Dwie gitarowe struny E1, stalowa i nylonowa, nastrojone są na ta samą częstotliwość
(329,6kHz). Ich długość jest taka sama, a struna stalowa ma siedmiokrotnie większą gęstość i
dwukrotnie mniejszą średnicę. Która struna jest napięta większą siłą?
9.6. Jaka jest długość struny, jeżeli po skróceniu jej o d=3,6cm (przy zachowaniu stałego
napięcia) częstotliwość drgań wzrosła 1,059 razy? (dla zainteresowanych muzyką: jest to
odległość między półtonami w stroju temperowanym).
9.7. Struna o długości l=97cm i kamerton wydają równocześnie dźwięk, który charakteryzuje
się dudnieniami o częstotliwości fd=1,5Hz. Po skróceniu struny o dl=0,3cm tony obu źródeł
pokrywają się. Jaka jest częstotliwość drgań kamertonu?
9.8. Jaka jest prędkość dźwięku w wodorze przy normalnym ciśnieniu (p=105Pa) i w
temperaturze 0oC, jeżeli gęstość wodoru w tych warunkach wynosi ρ=89,8g/m3, zaś κ =
1,41?
9.9. Prędkość dźwięku w powietrzu przy normalnym ciśnieniu i w temperaturze t0=20oC
wynosi c=340m/s. Jak się zmieni prędkość dźwięku zimą, przy tym samym ciśnieniu i
mrozach o temperaturze t1=-20oC?
9.10. Częstotliwość najniższego dźwięku (A4) wydawanego przez organy w Katedrze
Oliwskiej wynosi fd=27,5Hz. Jaka jest długość piszczałki organowej odpowiadającej tej
częstotliwości? Prędkość dźwięku w powietrzu w warunkach normalnych wynosi v=340m/s.
9.11. W rurze wypełnionej powietrzem (przyrząd Kundta) przy pewnej częstotliwości
pobudzania drganiami akustycznymi wytwarza się fala stojąca o odległości między węzłami
L1=5cm. Po wypełnieniu rury wodorem ta sama częstotliwość pobudzenia powoduje
powstanie fali stojącej o odległości między węzłami równej L2=19cm. Jaka jest prędkość
dźwięku w wodorze, jeżeli w powietrzu wynosi ona c=300m/s?
9.12. Poziom natężenia dźwięku wywoływanego przez pojedynczy silnik samolotu w
odległości l = 50m wynosi L = 80dB. Jaki będzie poziom natężenia dźwięku w tej samej
odległości gdy samolot uruchomi jeszcze drugi silnik?
9.13. Poziom natężenia dźwięku wywoływanego przez jadący samochód w odległości l =
50m wynosi 50dB. Jaki będzie poziom natężenia dźwięku w odległości l2 = 100m?
9.14. Gwizdek sędziego piłkarskiego wywołuje w odległości lg = 1m dźwięk o natężeniu Bg =
80dB, a syrena sygnalizująca koniec meczu w odległości ls = 10m dźwięk o natężeniu Bs = 90
dB. Który dźwięk osiągnie większe natężenie na środku boiska, odległym o l1 = 10m od
sędziego i l2 = 100m od syreny?
Rozwiązania:
Komentarz do zadań z efektem Dopplera.
Ogólny wzór opisujący zmiany częstotliwości dźwięku gdy porusza się jego źródło i odbiorca
wygląda tak:
c ± vobs
f = f0
c ± v zr
c jest prędkością dźwięku, vobs prędkością obserwatora, a vzr – prędkością źródła.
Zapamiętanie znaków oraz, która z prędkości ma być w liczniku, a która w mianowniku
często sprawia trudności. Można temu zaradzić pamiętając, że źródło poruszające się z
prędkością dźwięku powoduje falę uderzeniową, która w powyższym wzorze wyraża się
osobliwością (dzielenie przez zero), zatem prędkość źródła musi być w mianowniku. Znaki
można ustalić pamiętając, że gdy źródło i obserwator się zbliżają, to częstotliwość rośnie.
Takiemu przypadkowi odpowiada zatem plus w liczniku i minus w mianowniku.
9.1.R. Przyjmijmy, że zakres słyszalności dźwięku rozciąga się od częstotliwości fd = 20Hz
do fg = 16000Hz (w rzeczywistości jest on dosyć indywidualny). Na skutek zjawiska
Dopplera częstotliwość dźwięku może wzrastać (gdy kierowca zbliża się do policjanta)
c+v
f = f0
c
lub zmniejszać się (gdy kierowca oddala się od policjanta)
c−v
f = f0
c
W powyższych wzorach c oznacza prędkość dźwięku (około 340m/s), v – prędkość kierowcy,
a f – częstotliwość, którą usłyszy kierowca. Po wstawieniu częstotliwości granicznych zakresu
słyszalności, gdy kierowca się oddala od policjanta otrzymujemy
f g − f0
c+v
f g = f0
⇒v=c
c
f0
a gdy się zbliża
f − fd
c−v
⇒v=c 0
f0
c
Po podstawieniu danych liczbowych widzimy, że pierwsza prędkość jest znacznie większa od
prędkości dźwięku, a druga do niej zbliżona. Obie prędkości są zdecydowanie większe od
dozwolonej, zatem policjant miał rację.
fd = f0
9.2.R Zakładamy, że zarówno okręt podwodny, jak i obiekt poruszają się z prędkością
niewielką w stosunku do prędkości dźwięku. Na przebycie podwójnej odległości do obiektu
impuls dźwiękowy potrzebował czasu t, zatem odległość wynosi
l = 1 ct ≈ 435m
2
Okręt podwodny wysyłający impuls porusza się, podobnie jak i obiekt, który odbija impuls.
Zatem częstotliwość dźwięku docierającego do obiektu będzie zmieniona przez zjawisko
Dopplera:
f ob = f
c + vob
c − vz
Dodatnia wartość prędkości obiektu w liczniku będzie oznaczała, że obiekt się w kierunku
okrętu, a ujemna – że w przeciwnym. Dźwięk odbija się od obiektu, który pełni teraz rolę
źródła i dociera do okrętu, który pełni rolę obserwatora. Zjawisko Dopplera zachodzi
ponownie
f1 = f ob
c + vz
c − vob
Ostatecznie częstotliwość dźwięku docierającego do okrętu
f1 = f
c + vob c + v z

c − v z c − vob
Wyznaczamy prędkość obiektu
f1 (c − v z )(c − vob ) = f (c + v ob )(c + v z )
f1 (c − v z )c − f1 (c − v z )vob = f ⋅ vob (c + v z ) + f ⋅ c(c + v z )
vob = c
( f 1 − f )c − ( f 1 + f )v z
≈ −2,78m / s
( f 1 + f )c − ( f 1 − f ) v z
Wartość prędkości jest ujemna, czyli obiekt porusza się w kierunku od okrętu. Warto zwrócić
uwagę, że jest to tylko wartość składowej prędkości leżącej na prostej łączącej obiekt i okręt.
O ewentualnej składowej prostopadłej do tej prostej nie jesteśmy w stanie nic powiedzieć.
9.3.R Czas, po którym dyżurny usłyszał dźwięk składa się z czasu ruchu samochodu ts i czasu
powrotu dźwięku td: t = ts + td. Zależność między tymi czasami możemy znaleźć
przyrównując drogi samochodu i dźwięku:
1 2
at s = ct d
2
Przyspieszenie samochodu a znajdziemy z efektu Dopplera. Po czasie ts samochód osiągnął
pewną prędkość vs i dyżurny zarejestrował dźwięk o wysokości
f = f0
c
c + vs
Możemy stąd policzyć prędkość samochodu i jego przyspieszenie
vs = c
f0 − f
f −f
v
ponieważ a = s ⇒ a = c 0
f
ts f
ts
Wstawiamy przyspieszenie do zależności pomiędzy czasami:
1 f0 − f 2
t s = ct d
c
2 ts f
i znajdujemy czas ruchu samochodu
1 f0 − f
ts = td = t − ts ⇒ ts =
2 f
t
2tf
=
1 f0 − f
f + f0
1+
2 f
Możemy już policzyć przyspieszenie samochodu:
a=
( f − f )( f + f 0 )
vs
⇒a=c 0
ts
2tf 2
i ostatecznie jego odległość od remizy w chwili, gdy dyżurny zarejestrował dźwięk (do
równania wstawiamy całkowity czas t, bo w czasie gdy dźwięk powracał samochód cały czas
jechał):
s=
( f − f 0 )( f + f 0 )
at 2
= ct
2
4f 2
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy s = 271m.
Dodatek: można próbować rozwiązać to zadanie przy założeniu, że czasu ruchu samochodu ts
jest dużo większy od czasu powrotu dźwięku td. Rozwiązanie jest wtedy prostsze, ale mniej
dokładne i wygląda tak: po czasie t samochód osiągnął pewną prędkość vs i dyżurny
zarejestrował dźwięk o wysokości
f = f0
c
c + vs
Możemy stąd policzyć prędkość samochodu i jego przyspieszenie
vs = c
f0 − f
f −f
ponieważ a = v s / t ⇒ a = c 0
f
tf
i odległość od remizy
s=
at 2 ct f − f 0
=
2
2
f
Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy s = 283m, czyli zaniedbanie czasu powrotu
dźwięku powoduje błąd ponad 5%!
9.4.R Skoro radiowóz i samochód poruszają się z tą samą prędkością, to ich prędkość
względem siebie jest równa zeru i zjawisko Dopplera nie zajdzie. Pewien niepokój może
budzić fakt, że musimy jeszcze brać pod uwagę ośrodek, w którym rozchodzi się fala
dźwiękowa (powietrze), a względem tego ośrodka zarówno źródło, jak i obserwator poruszają
się. Gdy radiowóz goni samochód mamy jednak
f = f0
c−v
= f0
c−v
f = f0
c+v
= f0
c+v
a gdy samochód jedzie za radiowozem
W żadnym przypadku nie zaobserwujemy zmiany częstotliwości. Podobnie nie
zaobserwujemy zjawiska Dopplera gdy źródło i obserwator są nieruchome, a porusza się tylko
powietrze (na przykład wieje wiatr).
Komentarz: częstotliwość drgań własnych struny
Częstotliwość drgań własnych zamocowanej z obu końców struny zależy od jej długości,
materiału i naprężenia:
fk =
k
2l
F

gdzie k=1,2,3,..., l jest długością struny, F siłą napinającą, S przekrojem, a ρ gęstością
materiału struny. Wartość k=1 odpowiada częstotliwości podstawowej, a wartości większe
wyższym częstotliwościom harmonicznym.
9.5.R Częstość drgań własnych struny wyraża się zależnością
fk =
k
2l
F

gdzie k=1,2,3,..., l jest długością struny, F siłą napinającą, S przekrojem, a ρ gęstością
materiału struny. Porównując częstotliwość drgań struny nylonowej i stalowej otrzymujemy
k
2l
Fnyl
S nyl ρ nyl
=
k
2l
Fstal
S stal ρ stal

Fnyl
S nyl ρ nyl
=
Fstal
S stal ρ stal
Podstawiając dane z zadania otrzymujemy
Fnyl
S nyl ρ nyl
=
Fstal
1
S nyl ⋅ 7 ρ nyl
4
⇒ Fnyl =
4
Fstal
7
Większą siłą napięta jest struna stalowa.
9.6.R Jeżeli przed skróceniem podstawowa częstotliwość drgań struny wyniosła
1 F
f =
2l Sρ
to po skróceniu możemy zapisać
1
F
1,059 F
1
1,059
= 1,059 ⋅ f =

=
2(l − d ) Sρ
2l

l−d
l
1,059
l=
d ≈ 64,6cm
0,059
Jeżeli posiadasz gitarę porównaj ten wynik z długością strun i skróceniem struny na
pierwszym progu. Warto zwrócić uwagę, że do rozwiązania zadania nie jest konieczna
znajomość dokładnego wyrażenia na częstotliwość drgań struny, ale wystarczy fakt, że jest
ona odwrotnie proporcjonalna do długości.
9.7.R Dudnienia zachodzą z częstotliwością równą połowie różnicy częstotliwości
nakładających się fal. Możemy więc zapisać:
f − fs
fd = k
2
Częstotliwość drgań struny jest odwrotnie proporcjonalna do jej długości, mamy zatem
A
A
fs = ; fk =
l
l − dl
gdzie A jest stałą proporcjonalności (porównaj z poprzednim zadaniem). Stałą A możemy
znaleźć następująco:
1
1

f − f s l − dl l
1
A ⇒ A = 2 fd
fd = k
=
1
1
2
2

l − dl l
a częstotliwość drgań kamertonu
fk = 2 fd
1
1
l
= 2 fd
≈ 970 Hz
1
1 l − dl
dl

l − dl l

Komentarz: częstotliwość drgań własnych słupa powietrza
Częstotliwość drgań słupa powietrza zamkniętego z jednej strony
2k + 1
2k + 1 pκ
fk =
v=
4l
4l
ρ
Częstotliwość drgań dwustronnie otwartego lub zamkniętego słupa powietrza
k +1
k + 1 pκ
fk =
v=
2l
2l
ρ
gdzie v jest prędkością dźwięku, l długością słupa powietrza, p ciśnieniem, k stosunkiem
ciepła właściwego powietrza przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości,
zaś k=0,1,2... Wartość k=0 odpowiada częstotliwości podstawowej, a wartości większe
wyższym częstotliwościom harmonicznym.
9.8.R Odpowiedź:
v=

ρ
≈ 1253m / s
9.9.R Prędkość dźwięku w warunkach normalnych wynosi

c=
ρ
a jej zmiana przy zmianach temperatury wynika ze zmiany gęstości ρ. Zmiany gęstości
znajdziemy wiedząc, że masa powietrza jest stała, a zmieniają się jego gęstość i objętość
ρV = ρ1V1
Z równania Clapeyrona mamy
pV1
T
pV
=
⇒ V1 = V 1
T
T1
T
Łącząc obydwa równania
T
ρ1 = ρ
T1
Wstawiamy gęstość do wyrażenia na prędkość dźwięku:
T

pκ T1
c1 =
=
=c 1
ρ1
ρ T
T
Po podstawieniu danych liczbowych (pamiętając o temperaturze w skali Kelvina)
otrzymujemy około 316m/s. Zimą dźwięk porusza się wolniej niż latem...
9.10.R Piszczałka organowa wykorzystuje drgania jednostronnie zamkniętego słupa
powietrza. Częstotliwość drgań takiego słupa wyraża się przez
2k + 1
fk =
v
4l
gdzie v jest prędkością dźwięku, l długością słupa powietrza, zaś k=0,1,2... Częstotliwości
podstawowej drgań odpowiada k=0. Wyznaczamy długość piszczałki dla tego przypadku:
l=
1
v ≈ 3,1m
4 fd
9.11.R W rurze wypełnionej powietrzem długość fali wynosi λp = 2l1, a w wypełnionej
wodorem λw = 2l2. Możemy zapisać
vp
v
oraz 2l 2 = w
2l1 =
f
f
po wyłączeniu z obu równań częstotliwości i porównaniu otrzymujemy
l
v w = 2 v p = 1140m / s
l1
Komentarz: poziom natężenia dźwięku.
Natężenie akustyczne J w danym punkcie jest to wartość średnia energii fali akustycznej
przepływającej w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do kierunku
rozchodzenia się fali.
p2
J=
cρ 0
gdzie p jest ciśnieniem akustycznym, c prędkością dźwięku, a ρ0 gęstością ośrodka. W
zastosowaniach praktycznych używa się poziomu natężenia akustycznego wyrażonego w skali
logarytmicznej (w decybelach, dB) w odniesieniu do umownej wartości natężenia
akustycznego odniesienia J0 = 10-12 w/m2
J
L = 10 ⋅ log
J0
9.12. Poziom natężenia dźwięku wywoływanego przez pojedynczy silnik samolotu
J
L = 10 ⋅ log
J0
po włączeniu drugiego silnika energia fali akustycznej będzie dwukrotnie większa. Poziom
natężenia dźwięku wyniesie teraz
2⋅ J
J
L2 = 10 ⋅ log
= 10 ⋅ log
+ 10 ⋅ log 2 = L + 10 ⋅ log 2 ≈ 83dB
J0
J0
9.13. Poziom natężenia dźwięku wywoływanego przez jadący samochód w odległości l
J
L = 10 ⋅ log
J0
Przyjmijmy, że samochód z odległości kilkudziesięciu metrów możemy traktować jako źródło
punktowe promieniujące moc akustyczną P równomiernie we wszystkich kierunkach. W
odległości l mamy wtedy J = P/4πl2, a w odległości l2 mamy J2 = P/4πl22. Po wyłączeniu P i
porównaniu otrzymujemy
l2
2
J 4πl 2 = J 2 4πl 2 ⇒ J 2 = J 2
l2
skąd poziom natężenia dźwięku w odległości l2 wyniesie
J2
l
J l2
J
l2
= 10 ⋅ log( ⋅ 2 ) = 10 ⋅ log
+ 10 ⋅ log 2 = L + 20 ⋅ log ≈ 44dB
L2 = 10 ⋅ log
J0
J 0 l2
J0
l2
l2
9.14. Podobnie jak w poprzednim zadaniu przyjmujemy, że źródła dźwięku są punktowe i że
promieniują równomiernie we wszystkich kierunkach. Mamy wtedy
2
lg
l s2
J 2 = J s 2 oraz J 1 = J g 2
l2
l1
Natężenia dźwięku Js i Jg znajdujemy znając poziom natężenia:
Bg
Bg
Jg
Jg
10
⇒ 10 =
⇒ J g = 10 10 ⋅ J 0
B g = 10 ⋅ log
J0
J0
oraz
Bs
Bs
J
J
Bs = 10 ⋅ log s ⇒ 10 10 = s ⇒ J s = 10 10 ⋅ J 0
J0
J0
Wstawiamy otrzymane wyrażenia do równań na J1 i J2
2
2
Bs
lg
lg
J 1 = J g 2 = 10 10 ⋅ J 0 ⋅ 2 = 10 8 ⋅ J 0 ⋅ 10 − 2 = 10 6 ⋅ J 0
l1
l1
Bs
l2
l s2
= 10 10 ⋅ J 0 ⋅ s2 = 10 9 ⋅ J 0 ⋅ 10 − 2 = 10 7 ⋅ J 0
l1
l12
Większe natężenie osiągnie dźwięk syreny.
J2 = Js
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz