Zadania z rozwiązaniami

Nasza ocena:

3
Pobrań: 56
Wyświetleń: 1267
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Zadania z rozwiązaniami - strona 1 Zadania z rozwiązaniami - strona 2

Fragment notatki:

Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw V ftims, pg 1. Korzystając z jawnej postaci operatorów anihilacji i kreacji oscylatora harmonicznego ˆ a = mω 2 ˆ x + i 1 √ 2mω ˆ p, ˆ a † = mω 2 ˆ x − i 1 2 √ mω ˆ p (*) (a) pokaż, że [ˆ a, ˆ a†] = 1, (b) pokaż, że operator kreacji ˆ a† nie posiada normowalnych funkcji własnych, (c) wyznacz wartości własne oraz unormowane funkcje własne operatora anihilacji ˆ a. 2. Korzystając z operatorów ˆ a oraz ˆ a† podanych w zadaniu (1) pokaż, że hamiltonian oscylatora harmonicznego H = ˆ p 2 2m + 1 2 mω 2 ˆ x2 można zapisać w postaci H = ω ˆ a†ˆ a + 1 2 . 3. Korzystając z operatorów ˆ a oraz ˆ a† wyznacz dozwolone poziomy energetyczne oraz funkcje falowe kwantowom- echanicznego oscylatora harmonicznego. 4. Niech ˆ N = ˆ a†ˆ a. Pokaż, że wartości własne n operatora ˆ N są rzeczywiste oraz spełniają nierówność n ≥ 0. Jakie konsekwencje dla energii oscylatora posiada ta nierówność? 5. Wyznacz wartości średnie operatorów ˆ x, ˆ p, ˆ x2, ˆ p2 oraz nieoznaczoności pomiaru położenia i pędu oscylatora harmonicznego w (a) stanach stancjonarnych |n , dla dowolnego n, (b) stanie niestacjonarnym postaci: 1 √ 2 |n + 1 √ 2 |n + 1 . Dla jakiego stanu stacjonarnego iloczyn nieoznaczoności położenia i pędu przyjmuje najmniejszą możliwą wartość równą 2 ? 6. Wykorzystując zasadę nieoznaczoności ∆x∆p ≥ 2 oszacuj najmniejszą wartość jaką może przyjąć energia oscy- latora harmonicznego. 7. Niech {|n } jest bazą utworzoną z unormowanych wektorów własnych |n hamiltonianu oscylatora harmon- icznego. Wyznacz jawną postać macierzową operatorów ˆ a oraz ˆ a† w tej bazie. 8. Udowodnij, że operatory ˆ a i ˆ a† spełniają następujące relacje (a) ˆ a, ˆ a† n = n ˆ a† n−1 ,, (b) ˆ a†, ˆ an = −nˆ an−1, (c) [ˆ a†ˆ a, (ˆ a†)n] = n(ˆ a†)n (d) [ˆ a†ˆ a, eˆa † ] = ˆ a†eˆa † , (e) 0|ˆ an(ˆ a†)n|0 = n!, gdzie |0 jest stanem próżni oscylatora harmonicznego. 9. Niech f (ˆ a), g(ˆ a†) są rozwijalnymi w szereg funkcjami operatorów, odpowiednio, ˆ a i ˆ a†. Pokaż, że spełnione są związki komutacyjne ˆ a †, f(ˆa) = − ∂f (ˆ a) ∂ˆ a , ˆ a, g(ˆ a †) = ∂g(ˆ a†) ∂ˆ a† . 10. Pokaż, że prawdziwe są relacje (a) eiλˆa † ˆ a ˆa e−iλˆa † ˆ a = e−iλˆa, (b) eiλˆa ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz