Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych - przypadek znanego odchylenia standardowego

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 490
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych - przypadek znanego odchylenia standardowego - strona 1 Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych - przypadek znanego odchylenia standardowego - strona 2 Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych - przypadek znanego odchylenia standardowego - strona 3

Fragment notatki:


Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych— przypadek znanego odchylenia standardowego Wykład 9; 16 kwietnia 2012 Przykład wprowadzaj ˛ acy Przykład  X - ´srednica pewnego detalu stalowego wytwarzanego przez maszyn˛e to- karsk ˛ a A.; Zakładamy (na podstawie wcze´sniejszych do´swiadcze´n):  X ∼ N  ( θ ; 0 , 1); (jednostka-milimetr); Maszyna powinna produkowa´c detale o szeroko´sci ´sredniej szeroko´sci  θ 0 = 7 , 5 . Mamy uzasadnione podejrzenia, ˙ze maszyna, po wielu miesi ˛ acach u˙zytkowania bez konserwacji, uległa rozregulowaniu i przeci˛etna warto´s´c ´srednicy produkowanych de- tali jest w obecnym czasie wi˛eksza ni˙z 7 , 5 . Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej Interesuje nas sprawdzenie hipotezy  H 0 :  θ  =  θ 0, gdzie  θ 0 = 7 , 5 (jednostka: milimetr.) Chcemy sprawdzi´c, czy zu˙zycie no˙za maszyny tokarskiej nie spowodowało zwi˛eksze- nia warto´sci ´srednic  θ.  St ˛ ad hipoteza alternatywna:  H 1 :  θ  θ 0 . Statystyka testowa i jej rozkład Zakładamy, ˙ze nasze pomiary stanowi ˛ a realizacj˛e próby prostej  X 1 , X 2 , . . . , Xn , gdzie Xi ∼ N  ( θ ;  σ ); w naszym przykładzie  σ  = 0 , 1 . Chcemy „procedur˛e testow ˛ a" oprze´c na zmiennej losowej (tzw. statystyce testowej) Z  = ¯ X − θ 0 σ/ √ n . Przy zało˙zeniu prawdziwo´sci  H 0 zmienna  Z  ma warto´s´c oczekiwan ˛ a równ ˛ a 0 — wyni- ka to st ˛ ad, ˙ze warto´s´c oczekiwana ´sredniej próbkowej ¯ X  jest równa  θ 0 .  Mo˙zna pokaza´c, ˙ze przy zało˙zeniu prawdziwo´sci  H 0 odchylenie standardowe  Z  jest równe 1. Czy mo˙zna precyzyjnie okre´sli´c rozkład ¯ X  oraz  Z ? Rozkład ´sredniej próbkowej Twierdzenie 1. Je˙zeli  X 1 , X 2 , . . . , Xn  s ˛ a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozkła- dzie normalnym N  ( θ ;  σ ) to ´srednia ¯ X  ma rozkład  N  ( θ ;  σ/ √ n ) Wniosek:zmienna losowa  Z  okre´slona przez Z  = ¯ X − θ 0 σ/ √ n . ma rozkład  N  (0 ,  1) przy zało˙zeniu prawdziwo´sci  H 0 . 1 Obszar krytyczny Problem: jakie warto´sci statystyki  Z  nale˙zy uzna´c za nietypowe? Niech  z 1 −α  oznacza kwantyl rz˛edu 1  − α  rozkładu normalnego, tj. rozwi ˛ azanie rów- nania: Φ( x ) = 1  − α, gdzie jest ustalon ˛ a liczb ˛ a z przedziału (0 ,  1) — zazwyczaj przyjmujemy w zagadnie- niach testowania hipotez  α  = 0 , 05 lub  α  = 0 , 01;  α  jest tzw. poziomem istotno´sci testowania hipotezy. Okre´slmy zbiór krytyczny dla zadanego  α  dla hipotezy alterna- tywnej  H 1 :  θ 

(…)

… realizacj˛ próby prostej z rozkładu Bin(1, p).
˛
e
Chcemy zweryfikowa´
c
H0 : p = p0 przeciw H1 : p > p0 ;
w naszym przykładzie p0 = 11,3.
Testowanie hipotezy o proporcji— c.d.
˙ ˛
Niech Y - liczba zyjacych w ubóstwie— spo´ród n = 10000 ankietowanych.
s
˙
˙
Zauwazmy, ze Y = X1 + X2 + . . . + Xn , gdzie Xi ∼ Bin(1, p)
˙
Z centralnego twierdzenia granicznego: przy załozeniu prawdziwo´ci H0
s
p0 (1−p0 )
Y…
… , ∞) = [2,33; ∞),
y
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
a wi˛ c nie ma podstaw do odrzucenia H0 i przyj˛ cia H1 .
e
e
−4
−2
0
2
4
x
Rysunek 1: Wykres g˛ sto´ci rozkładu N (0, 1); pole zacieniowanego „trapezu krzywoe s
liniowego” jest równe 0,01
Podstawa „niesko´ czonego trapezu”: [2,33; ∞)- to obszar krytyczny (w przykładzie
n
"´rednice detali metalowych”)
s
Uwagi nt. obliczania kwantyli r. normalnego
Definicja 1. Kwantylem…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz