To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych— przypadek znanego odchylenia standardowego Wykład 9; 16 kwietnia 2012 Przykład wprowadzaj ˛ acy Przykład X - ´srednica pewnego detalu stalowego wytwarzanego przez maszyn˛e to- karsk ˛ a A.; Zakładamy (na podstawie wcze´sniejszych do´swiadcze´n): X ∼ N ( θ ; 0 , 1); (jednostka-milimetr); Maszyna powinna produkowa´c detale o szeroko´sci ´sredniej szeroko´sci θ 0 = 7 , 5 . Mamy uzasadnione podejrzenia, ˙ze maszyna, po wielu miesi ˛ acach u˙zytkowania bez konserwacji, uległa rozregulowaniu i przeci˛etna warto´s´c ´srednicy produkowanych de- tali jest w obecnym czasie wi˛eksza ni˙z 7 , 5 . Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej Interesuje nas sprawdzenie hipotezy H 0 : θ = θ 0, gdzie θ 0 = 7 , 5 (jednostka: milimetr.) Chcemy sprawdzi´c, czy zu˙zycie no˙za maszyny tokarskiej nie spowodowało zwi˛eksze- nia warto´sci ´srednic θ. St ˛ ad hipoteza alternatywna: H 1 : θ θ 0 . Statystyka testowa i jej rozkład Zakładamy, ˙ze nasze pomiary stanowi ˛ a realizacj˛e próby prostej X 1 , X 2 , . . . , Xn , gdzie Xi ∼ N ( θ ; σ ); w naszym przykładzie σ = 0 , 1 . Chcemy „procedur˛e testow ˛ a" oprze´c na zmiennej losowej (tzw. statystyce testowej) Z = ¯ X − θ 0 σ/ √ n . Przy zało˙zeniu prawdziwo´sci H 0 zmienna Z ma warto´s´c oczekiwan ˛ a równ ˛ a 0 — wyni- ka to st ˛ ad, ˙ze warto´s´c oczekiwana ´sredniej próbkowej ¯ X jest równa θ 0 . Mo˙zna pokaza´c, ˙ze przy zało˙zeniu prawdziwo´sci H 0 odchylenie standardowe Z jest równe 1. Czy mo˙zna precyzyjnie okre´sli´c rozkład ¯ X oraz Z ? Rozkład ´sredniej próbkowej Twierdzenie 1. Je˙zeli X 1 , X 2 , . . . , Xn s ˛ a niezale˙znymi zmiennymi losowymi o rozkła- dzie normalnym N ( θ ; σ ) to ´srednia ¯ X ma rozkład N ( θ ; σ/ √ n ) Wniosek:zmienna losowa Z okre´slona przez Z = ¯ X − θ 0 σ/ √ n . ma rozkład N (0 , 1) przy zało˙zeniu prawdziwo´sci H 0 . 1 Obszar krytyczny Problem: jakie warto´sci statystyki Z nale˙zy uzna´c za nietypowe? Niech z 1 −α oznacza kwantyl rz˛edu 1 − α rozkładu normalnego, tj. rozwi ˛ azanie rów- nania: Φ( x ) = 1 − α, gdzie jest ustalon ˛ a liczb ˛ a z przedziału (0 , 1) — zazwyczaj przyjmujemy w zagadnie- niach testowania hipotez α = 0 , 05 lub α = 0 , 01; α jest tzw. poziomem istotno´sci testowania hipotezy. Okre´slmy zbiór krytyczny dla zadanego α dla hipotezy alterna- tywnej H 1 : θ
(…)
… realizacj˛ próby prostej z rozkładu Bin(1, p).
˛
e
Chcemy zweryfikowa´
c
H0 : p = p0 przeciw H1 : p > p0 ;
w naszym przykładzie p0 = 11,3.
Testowanie hipotezy o proporcji— c.d.
˙ ˛
Niech Y - liczba zyjacych w ubóstwie— spo´ród n = 10000 ankietowanych.
s
˙
˙
Zauwazmy, ze Y = X1 + X2 + . . . + Xn , gdzie Xi ∼ Bin(1, p)
˙
Z centralnego twierdzenia granicznego: przy załozeniu prawdziwo´ci H0
s
p0 (1−p0 )
Y…
… , ∞) = [2,33; ∞),
y
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
a wi˛ c nie ma podstaw do odrzucenia H0 i przyj˛ cia H1 .
e
e
−4
−2
0
2
4
x
Rysunek 1: Wykres g˛ sto´ci rozkładu N (0, 1); pole zacieniowanego „trapezu krzywoe s
liniowego” jest równe 0,01
Podstawa „niesko´ czonego trapezu”: [2,33; ∞)- to obszar krytyczny (w przykładzie
n
"´rednice detali metalowych”)
s
Uwagi nt. obliczania kwantyli r. normalnego
Definicja 1. Kwantylem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)