Matematyka (24 strony)

Wzory, przykłady. Pokazane jest jak rozwiązywać całki. Całki nieokreślone i określone wraz z przydatnymi wzorami. Wszystko wyjaśnione, napisane krok po kroczku, świetnie objaśniona metoda na rozwiązywanie różnych całek, często tych problematycznych.

Pojęcia całki - jest to działanie odwrotne do pochodnej.
Wzory:
1. Przykład:
Przykład:
Przykład:
Przykład:
Przykład:
Przykład:
Przykład:
Uproszczenia możliwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1. Wyprowadzenie:
Rozwiążmy poniższy przykład:
Uproszczenie 1. Końcowy wzór:
Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku jest pochodna tej funkcji to całka jest równa:
Przykład1: Przykład2: Uproszczenie 2. Wyprowadzenie:
Rozwiążmy następujący przykład: Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.
Gdyby wyrażenie: można było przedstawić jako sumę dwu wyrażeń to można by było zastosować znane już wzory.
Zakładamy, że są takie wartości A i B które spełniają te wyrażenia. Dokonajmy więc przekształcenia takiej sumy wyrażeń:
czyli:
Jeżeli strony równania są równe przy jednakowych mianownikach, więc liczniki są też równe. Możemy więc napisać:
Obliczamy wartość A i B dla których równanie będzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu na wyrażenie musi być spełniony warunek : x(A+B) = 0
będzie to zawsze spełnione gdy: A + B = 0
Przy takim warunku całe wyrażenie będzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1
Możemy napisać układ równań z których wyliczymy wartość A i B :
Całe nasze wyrażenie przybierze postać:
Uproszczenie 2. Końcowy wzór:
Temat: Pojęcia całki - część dalsza
Wzory:
Przykład:

(…)

… to do przykładu:
Rozwiązaniem jest:
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji: 7
Obliczamy miejsca przecięcia się tych wykresów (wspólne wartości X dla obu wykresów):
Dla oraz wykresy tych funkcji przecinają się.
Pole między wykresami tych funkcji będzie równe różnicy całek oznaczonych tych funkcji dla przedziału 0,7
Przykład:
Obliczyć pole między wykresami funkcji: 1/4
Obliczamy miejsca przecięcia…
… całki.
Powtórka: Przykład:
delta ujemna, do rozwiązania należy wykorzystać inną metodę.
Wykorzystać można wzór: Przykład:
Przypomnienie wzoru: pochodna z mianownika naszego przykładu była by: licznik z naszego przykładu jest : aby doprowadzić go do postaci: należy dokonać przekształcenia:
Wracamy do naszej całki:
Przykład:
Temat2: Całki oznaczone.
Wszystkie poznane do tej pory całki to całki…
... zobacz całą notatkę