Całki powierzchniowe drugiego rodzaju wykład

Wykład 8 Całki powierzchniowe drugiego rodzaju: Wstęp:
[masa płata]
f: S-R
gdyby: f = const = m = mes(S)*c
dm = f(x,y,z)ds
m = - całka powierzchniowa pierwszego rodzaju
Wstęga Mobiusa - powierzchnia jednostronna Rozpaatrujemy tylko powierzchnie dwustronne !!! Strumień wektora przez powierzchnię
Sama nazwa „strumień” związana jest z pewnym zad. Hydromechanicznym. Rozważamy przepływ cieczy przestrzeni. W przypadku ogólnym nie zakładamy, że ten ruch jest stacjonarny, ale prędkość ruchu v zależy nie tylko od położenia punktu m, ale również od czasu t. Postawmy sobie za zadanie obliczenie ilości cieczy przepływającej przez pow. S w określoną stronę.
Przez element ds. przepływa pewna ilość cieczy, która wypełnia `walec'.
Niech = 1 [jednorodność cieczy] wtedy -strumień.
Gdy ciecz nie jest jednorodna to zachodzi , - funkcja określona na pow.
Określamy nową funkcję: Wtedy (1) całka powierzchniowa drugiego rodzaju zapis wektorowy
Wtedy:
(3)
Ze wzoru (3) obliczamy całkę.
Definicja ogólna:
Z: 1) - ciągła i ma ciągłe pochodne = pow. gładka 2) Z ciągła lub kawałkami ciągła i ma ciągłe pochodne = pow. gładka 3) uogólnienie 2)
Powiedzieć, że S - pow. dwustronna tzn. że można określić wektor :
Niech n - gładka
Aby określić całkę potrzebujemy dodatkowo określić funkcję wektorową na pow. S , Zakładamy, że X,Y,Z - ciągłe.
Rozpatrujemy dowolny podział pow S na kawałki . : Jeżeli granica sumy całkowej istnieje to nazywamy ją całką powierzchniową po powierzchni S po f:
Obliczanie całki powierzchniowej drugiego rodzaju.
Wszystko wynika ze wzoru (3) jeśli umiemy obliczyć całki powierzchniowe pierwszego rodzaju.
Dla x=x
y=x
z=z(x,y)
UWAGA: Cosinusy wektora dla powyższej sytuacji są równe:
,gdzie , Przykład:
Wykład 9 Wzór Gaussa-Ostrogradzkiego (analogia do wzoru Greena)
Wzór ten wiąże całkę powierzchniową drugiego rodzaju z całkami potrójnymi.
- bryła normalna względem OZ, - powierzchnia walcowa o tworzących względem OZ
Zakładamy, że funkcje X,Y,Z- f. skalarne oraz pochodne ' ' są ciągłe.
Dla tych funkcji możemy zastosować wzory (1,2,3), czy (4)

(…)

…:
Biorę dowolny ,
(8)
Wzór (8) może służyć także jako definicja devergencji.
Opis Hamiltona:
- to pochodna kierunkowa i gradient
…
... zobacz całą notatkę