Estymacja przedziałowa

Przedziały ufności dla nieznanej wartości przeciętnej

Model 1. Cecha X populacji generalnej posiada rozkład N(μ,σ ) , o nieznanej wartości przeciętnej i znanym odchyleniu standardowym σ. Szukamy przedziału ufności dla μ , w oparciu o n-elementową próbę prostą X1, X2,..., Xn .

Z przedstawionych rozważań wynika, że w zależności od sposobu wyboru α1 i α2 można utworzyć nieskończenie wiele przedziałów ufności dla nieznanego parametru, już przy ustalonym współczynniku istotności (1−α). Można również konstruować przedziały prawostronne (α1 = 0) lub lewostronne (α2 = 0). W praktycznych zastosowaniach najczęściej korzystamy z symetrycznych przedziałów dwustronnych, czyli α1 =α2 = α2 , w postaci (por. rys. 3.3)

Model 2. Cecha (zmienna) X populacji ma rozkład N(μ,σ ) , przy czym zarówno μ jak i σ stanowią nieznane parametry tego rozkładu. W rozdziale 3.2.5 wykazano, że statystyka ma rozkład Studenta o (n − 1) stopniach swobody. Ponieważ rozkład tej statystyki jest niezależny od nieznanych parametrów μ i σ , a zależy tylko od liczności próby, zatem statystykę tę można wykorzystać do konstrukcji przedziału ufności dla wartości przeciętnej μ .

Model 3. Cecha X populacji generalnej ma rozkład dowolny o nieznanych parametrach, czyli nieznanej wartości przeciętnej i skończonej wariancji σ 2 . Zakładamy liczność próby n > 30 .

Z centralnego twierdzenia granicznego wynika, że statystyka ma asymptotyczny rozkład N (0,1) . Ze względu na dużą liczność próbki nieznaną wartość σ zastępujemy przez ocenę S$ obliczoną z próbki.