To tylko jedna z 15 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego Krętem k O punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy moment pędu v p m = tego punktu materialnego względem punktu O: v r p r k m O × = × = . (7.56) Z powyższej definicji wynika, że kręt − zdefiniowany podobnie jak moment siły względem punktu − jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez punkt O i wektor prędkości v (rys. 7.16). Kręt punktu będzie równy zeru, poza przypadkami trywialnymi ( r = 0 i v = 0), gdy wektory r i v będą współliniowe. Jeżeli będziemy mieli układ n punktów materialnych o masach mk opisanych wektorami wodzącymi r k i poruszających się z prędkością v k (rys. 7.17), to kręt tego układu materialnego względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów pędów) nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów pędów) k o m m v O r Rys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktu materialnego ∑ ∑ = = × = × = n 1 k k k k n 1 k k k O m v r p r k . (7.57) 7.3.2. Redukcja krętu do środka masy Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z (rys. 7.17). W tej sytuacji układ ′ ′ ′ x , y , z ′ ′ ′ x , y , z będzie się poruszał ruchem postępowym względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy v C. v 1 v 2 r C r Ck mk z x ′ z ′ y ′ y x r k C O m1 v k m2 mn v n v C v C v Ck Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych Przy takim założeniu prędkość bezwzględna v k każdego punktu materialnego względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej prędkości środka masy v C i prędkości względnej v Ck wzgędem układu ruchomego , nazywanej dalej prędkością względem środka masy: ′ ′ ′ x , y , z Ck C k v v v + = . (a) Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi wzór: ∑ = × = n 1 k k Ck C m k v r k , (7.58)
(…)
… względem środka masy wyrazi
wzór:
n
k C = ∑ rCk × m k v k ,
(7.58)
k =1
gdzie rCk jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie mk w układzie
x ′ , y ′, z ′ . Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący rk jest równy sumie
promienia wodzącego środka masy rC i promienia rCk:
rk = rC + rCk .
Po wyznaczeniu z tej zależności
rCk = rk − rC
i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:
n
n
n
k =1
k =1
k =1
k C…
… Cy′ j′+ k Cz′ k ′,
r ′ = x ′ i ′+ y ′ j′+ z ′ k ′,
ω = ω x′ i ′+ ω y′ j′+ ω z′ k ′ .
Po rozpisaniu podwójnego iloczynu wektorowego ze wzoru (7.62), zgodnie ze
wzorem (2.34) otrzymamy:
k C = ω ∫ r ′⋅ r ′ dm − ∫ r ′(r ′⋅ ω )dm = ω ∫ (r ′) dm − ∫ (r ′⋅ ω )r ′dm.
2
m
m
m
m
Pierwsza całka występująca po prawej stronie powyższego równania jest
biegunowym momentem bezwładności względem środka masy C:
I C…
… wyraz po lewej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ jest
to iloczyn wektorowy wektorów równoległych:
d rC
× m vC = vC× m vC = 0 ,
dt
a pochodna występująca w trzecim wyrazie jest pochodną względem czasu pędu
układu materialnego, równą wektorowi głównemu układu sił zewnętrznych (7.48):
d (m v C ) d p
=
= W.
dt
dt
Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniu (f) i uproszczeniu…
…)
Z powyższych wzorów wynika, że do obliczenia krętu kC bryły swobodnej
względem środka masy C musimy znać wszystkie osiowe momenty bezwładności
i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezwładności. Wzory (7.65) znacznie
się upraszczają, gdy osie x ′ , y ′, z′ są głównymi centralnymi osiami bezwładności.
W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne są równe
zeru i kręt
k C = ω x′ I x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)