Konstruowanie uzasadnień, budowa dowodów w ramach określonych teorii
Podstawowe konstrukcje dowodowe (odwołują się do kształtu dowodzonej tezy)
(1) Teza dowodzona jest postaci „φ ⇒ ψ”
Teza: φ ⇒ ψ
Dowód. Załóżmy, że φ. (...) Zatem ψ. □
Jeżeli poprzednik jest prawdziwy, to następnik też (wykluczenie jedynego przypadku fałszywości implikacji, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy).
Założenie dowodu traktujemy jak dodatkowy aksjomat. Adekwatność założeń zależy od tego, co chcemy udowodnić.
(2) Teza dowodzona jest postaci „φ ∧ ψ”
Teza: φ ∧ ψ
Dowód. (...) Zatem φ. (...) Zatem ψ. □
(3) Teza dowodzona jest postaci „φ ⇔ ψ”
Formuła φ ⇔ ψ jest logicznie równoważna formule (φ ⇒ ψ) ∧ (ψ ⇒ φ).
Teza: φ ⇔ ψ
Dowód (sposób I).
a) Załóżmy, że φ. (...) Zatem ψ.
b) Załóżmy, że ψ. (...) Zatem φ. □ (uwaga: w tej części dowodu nie wolno powoływać się na część poprzednią)
Teza: φ ⇔ ψ
Dowód (sposób II).
Następujące twierdzenia są równoważne (FAE, following are equivalent): φ1 (= φ), φ2, ... , φn (= ψ). □
W dowodzie tym korzystamy z prawa przechodniości równoważności:
φ1 ⇔ φ2, φ2 ⇔ φ3, ... , φn - 1 ⇔ φn || φ1 ⇔ φn
(4) Dowód niewprost (dowód apagogiczny, przez sprowadzenie do absurdu, niedorzeczności, sprzeczności)
⊥ - stała logiczna fałsz (pinezka) - dowolne, ustalone zdanie, fałszywe dla każdej interpretacji (kontrtautologia)
T - stała logiczna prawda - dowolne, ustalone zdanie, prawdziwe dla każdej interpretacji (tautologia)
T ⇔ ~ ⊥ ⊥ ⇔ ~ T
~ φ ⇔ (φ ⇒ ⊥)
(4a) Niekonstruktywny schemat dowodzenia niewprost
Teza: φ
Dowód. Załóżmy niewprost, że ~ φ. (...) Zatem sprzeczność. □
Schemat dowodu ma postać (~ φ ⇒ ⊥) ⇔ ~ ~ φ - aby z formuły ~ ~ φ otrzymać formułę φ (tezę), należy założyć klasyczne prawo podwójnego przeczenia, wówczas:
(~ ~ φ) ⇔ φ
(4b) Konstruktywny schemat dowodzenia niewprost
Teza: ~ φ
Dowód. Załóżmy niewprost, że φ. (...) Zatem sprzeczność. □
Schemat dowodu ma postać (φ ⇒ ⊥) ⇔ ~ φ.
Uzasadnienie dowodu niewprost
1. φ (teza)
2. ~ φ ⇒ ⊥
3. (~ φ ⇒ ⊥) ⇒ (T ⇒ ~ ~ φ) (prawo transpozycji, 3.)
4. T ⇒ ~ ~ φ (reguła odrywania, 2., 3.)
5. ~ ~ φ (reguła odrywania, 4. - odrywamy prawdę)
6. φ (prawo podwójnej negacji, 5.)
(…)
…, wraz z m. in. zasadą wyłączonego środka)
Identyczność
Predykat dwuargumentowy
t = t' - t jest identyczne z t', gdzie t, t' - termy (wyrażenia nazwowe)
Podanie znaczenia przez podanie warunków prawdziwości - jaki świat musi być, żeby dane zdanie było prawdziwe.
Zdanie postaci t = t' (t, t' - zmienne przebiegające nazwy) jest prawdziwe dokładnie wtedy, gdy t i t' oznaczają ten sam przedmiot (t i t' są tym samym przedmiotem, gdzie t, t' - zmienne przebiegające przedmioty)
a = b - nazwy a i b oznaczają ten sam przedmiot.
Sposoby dowodzenia odwołujące się do specyficznych własności obiektów
Aksjomaty Fregego - jako jedyne pojęcie pierwotne przyjmujemy predykat należenia ∈.
Aksjomat ekstensjonalności
∀x ∀y [x = y ⇔ ∀z (z∈x ⇔ z∈y)], gdzie x, y, z przebiegają dowolne zbiory
Nieograniczony schemat wyróżniania…
… (reguła odrywania, 2., 3.)
5. ~ ~ φ (reguła odrywania, 4. - odrywamy prawdę)
6. φ (prawo podwójnej negacji, 5.)
Przykład dowodu niekonstruktywnego
Twierdzenie: Istnieją liczby niewymierne a i b takie, że ab jest wymierne.
Dowód. Rozważmy liczbę √2√2. Liczba ta jest wymierna lub niewymierna.
(przypadek 1): Załóżmy, że liczba √2√2 jest wymierna. Weźmy a = √2, b = √2, a i b są niewymierne, ab jest wymierne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)