Bardzo obszerny pack notatek z logiki. Notatki, zestawy pytań, odpowiedzi - bardzo przydatny materiał. W treści notatek i zadań między innymi następujące pojęcia: opis aksjomatyczny zbioru twierdzeń, twierdzenie o dedukcji, dowód formuły, funkcja Łukasiewicza, koniunkcja, alternatywa, implikacja, negacja, różnica struktur, hierarchiczna budowa wiedzy Arystotelesa, tautologia, algebra zdań, prawo rozdzielania małego kwantyfikatora względem koniunkcji, odwrotna implikacja, trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza, determinizm, symbolika beznawiasowa Łukasiewicza, twierdzenie o dedukcji wprost. Ponadto w zadaniach omówione zostały następujące kwestie: równoważność, dowód nie wprost, warunek konieczny, warunek wystarczający, ocena prawdziwości zdania, p i q, p lub q, heterologiczny, metajęzyk, problem pełności krz, funkcja Sheffera, tautologie, funkcja konsekwencji, definicja funkcji konsekwencji, najwyższe prawa myślenia Arystotelesa, twierdzenie krz, system algebraiczno-relacyjny, model języka KRP, rachunek predykatów, klasyczna definicja prawdy, algebra zbiorów, prawo rozdzielności, prawo łączności, prawo przemienności i inne.
ZESTAW 1
1. SFORMUŁOWAĆ ANTYNOMIĘ WYRAZU HETEROLOGICZNY, WSKAZAĆ JEJ ŹRÓDŁO I SPOSÓB ROZWIĄZANIA TEJ TRUDNOŚCI.
Autorem antynomii wyrazu `heterologiczny' był Grelling.
Antynomia = sprzeczność wewnętrzna.
Heterologiczny - wyraz `w' jest heterologiczny wtedy i tylko wtedy, gdy `w' nie jest w.
np. Wyraz „kreda” nie jest kredą. Wyraz „rzeczownik” nie jest rzeczownikiem.
Czy wyraz „heterologiczny” jest heterologiczny?
„Heterologiczny” jest heterologiczny wtw. gdy „heterologiczny” nie jest heterologiczny.
Czyli zapisując podane zdanie jako funkcję: , co oczywiście jest sprzecznością (nie może coś być i jednocześnie nie być).
Dla uniknięcia takich paradoksów należy odróżniać język od metajęzyka oraz przestrzegać zasad samoreferencji (wielopoziomowa struktura języka).
nie wolno mieszać poziomów języka
2. SFORMUŁOWAĆ PROBLEM PEŁNOŚCI KRZ ORAZ UZASADNIĆ, ŻE REGUŁA ODRYWANIA NIE WYPROWADZA POZA ZBIÓR TAUTOLOGII.
- twierdzenie o pełności KRZ
- zbiór jest zamknięty na RO
1. (zał) 2. (zał) 3. (zał)
4. wiersze 1, 2, 3 są sprzeczne
5. (1-4, TDN)
3. ZDEFINIOWAĆ FUNKCJĘ ŁUKASIEWICZA ZA POMOCĄ FUNKCJI SHEFFERA.
p
q
p || q
p | q
p | p
q | q
(p | p) | (q | q)
[(p | p) | (q | q)] | [(p | p) | (q | q)]
↔
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
4. KORZYSTAJĄĆ Z TW. O DEDUKCJI, PODAĆ DOWÓD FORMUŁY.
1. (zał)
2. (zał)
3. (zał niewprost)
4. (XXII', RO) ()
5. (1, 4, RO)
6. (2, 4, RO)
7. 5 i 6 sprzeczne
8. (1-8, TDN)
(…)
… Boole'a pozostaną bez zmian.
***Inny przykł: Każda tautologia i twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zamienimy w nim: -koniunkcje na alternatywy -alternatywy na koniunkcje
-jedynki na zera -zera na jedynki
własności stałych pv0p p^1p ; pv11 p^0 0
prawa de morgana ~(p^q)~pv~q ; ~(pvq)~p^~q
***Jeśli F(x1,x2,...,xn,+,*,~,0,1) jest funkcją logiczną (z nawiasami) zawierającą zmienne x1...xn…
… i sprawdzić idempotentność:
/\ A e P(x) AnA=A
/\ A e P(x) AuA=A
xe(AnA)<=defn> xeA ^ xeA<=idemp w alg zdań> xeA
xe(AuA)<=defu> xeA v xeA<=idemp w alg zdań> xeA
W algebrze zbiorów sformułować prawa de Morgana oraz sprawdzić jedno:
~(AuB) ↔ ~A∩ ~B
~(A∩B) ↔ ~Au ~B
dowód 1:
X e[~(AuB)] <=def dopełnienia > ~[x e(AuB)] <=def u > ~(x eA lub x eB) <=prawo de Mrg. w strk. zdań>
~x eA i ~x eB <=def dopeł. > x e ~A i x…
… przykładami.
{Xi}ieI0 (zero tez w indeksie) - zmienne indywidualne (np. liczby, zmienne logiczne)
{Ci)i eI1 - stałe indywidualne (np. π, e; 1,0 boolowskie)
{Fi}i eI2 - symbole funkcyjne (działań) (np. +,-, *,max)
(ki =>1 - argumentowe)
{Pi}i eI3 - symbole relacji (predykatów) (np. =,<)
(ni =>1 - argumentowe)
{~,→} - stałe logiczne
{/\, \/} - stałe logiczne (symbole kwantyfikatorów)(ten drugi zapis lepiej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)