To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Zestaw 11.
Formy kwadratowe, formy hermitowskie
Zadanie 1. Napisa´ macierz symetryczna zwiazana z forma kwadratowa
c
¾
¾
¾
¾
¾
a) ' (x1 ; x2 ) = 3x2 + 4x1 x2 + 3x2 ,
1
2
b) ' (x1 ; x2 ; x3 ) = 10x2 + 4x1 x2 + x1 x3 + 2x2 x3 + 5x2 + 2x2 ,
1
2
3
c) ' (x1 ; : : : ; x6 ) = 5x2 + 8x1 x2 + 2x2 + 5x2 + 6x3 x4 + 2x2 + x2 + 12x5 x6 + x2
1
3
2
4
5
6
oraz przedstawi´ powyzsze formy kwadratowe w postaci macierzowej.
c
·
Zadanie 2. Poda´ formy kwadratowe zwiazane z macierzami
c
¾
2
2
3
2
3
2
1
4
5
sin
cos
0
6 2
2
3 5 b) 4 cos
sin
0 5 c) 6
a) 4 4
4 4
5
3
3
0
0
1
6
2
3
2
4
4
2
4
8
3
6
4 7
7.
8 5
5
Zadanie 3. Zbada´ okre´
c
slono´ c formy kwadratowej
s´
a) '(x1 ; x2 ) = x2 + 3x1 x2
1
x2 ,
2
b) '(x1 ; x2 ; x3 ) = x2 + x2 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 2x2 x3 ,
1
2
x2
1
c) '(x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) =
x2
2
5x2 + 4x1 x3 .
3
Zadanie 4. Wyznaczy´ wszystkie warto´ parametru
c
sci
nie
a) '1 (x1 ; x2 ) = x2 + x1 x2 + x2 +
1
2
b)
c)
'2 (x1 ; x2 ; x3 ) = x2 + 2x1 x2 +
1
'3 (x1 ; x2 ; x3 ) = 4x2 + 4x1 x2 +
1
2
2 R, dla których odwzorowa-
4
x1 x3 + x2
3
2x2 + 2 x1 x3 + x2
2
3
jest forma kwadratowa, która
¾
¾
jest dodatnio okre´
slona,
nie jest ujemnie okre´
slona,
jest pó÷ slona dodatnio.
okre´
Zadanie 5. Rozwazmy dwie formy kwadratowe
·
F (x1 ; x2 ; x3 ) = 5x2 + x2 + 2 x1 x3 + 2x1 x2 ;
1
2
G(x1 ; x2 ; x3 ) = x2
1
x2
2
2x1 x2
x2 .
3
Dla jakich warto´ parametru 2 R nierówno´ c F (x1 ; x2 ; x3 ) G(x1 ; x2 ; x3 )
sci
s´
jest prawdziwa dla kazdego (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 n f(0; 0; 0)g ?
·
Zadanie 6. Zbada´ okre´
c
slono´ c form hermitowskich:
s´
2
a) '1 (z1 ; z2 ) = jz1 j + (1 + i) z1 z2 + (1
b) '1 (z1 ; z2 ) =
2
2 jz1 j
6 Im (z1 z2 )
1
2
i) z1 z2 + 2 jz2 j ;
2
5 jz2 j :
Zadanie 7. Wyznaczy´ wszystkie warto´ parametru c 2
c
sci
mitowskie wyznaczone przez macierze hermitowskie
2
2
i
2
1 i
1 c
i
1
a)
b)
c) 4
1+i
c
c 1
c
2i
sa dodatnio okre´
¾
slone.
C dla których formy her3
2i
c 5
1
2
1
d) 4 2i
2i
2i
c+c
2
c
Zadanie 8. Dowie´ c, ze dowolna macierz kwadratowa mozna przedstawi´ w postaci
s´ ·
¾
¾
c
·
sumy macierzy symetrycznej i sko´
sniesymetrycznej.
Zadanie 9. Niech A 2 Rn n bedzie macierza symetryczna, dodatnio okre´ a. Spraw¾
¾
¾
slon ¾
dzi´ , czy odwzorowanie s : Rn Rn ! R okre´
c
slone wzorem s (x; y) = xT Ay jest
iloczynem skalarnym w przestrzeni Rn .
¾
¾
¾
slon ¾
Zadanie 10.* Niech A 2 Cn n bedzie macierza hermitowska, dodatnio okre´ a.
Sprawdzi´ , czy odwzorowanie s : Cn Cn ! C okre´
c
slone wzorem s (x; y) = x Ay
jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Cn .1
Zadanie 11.* Niech X bedzie przestrzenia wektorowa wyposazona w iloczyn skalarny
¾
¾
¾
· ¾
h ; i. Niech f1 ; : : : ; fn 2 X. Uzasadni´ równowazno´ c
c
· s´
f1 ; : : : ; fn
n
df
liniowo niezalezne , det G 6= 0,
·
n
gdzie G = [gij ]i;j=1 = [hfi ; fj i]i;j=1 .2
Zadanie 12. Niech x 2 Rn ; A 2 Rn n . Niech x ! xT Ax bedzie forma dodatnio
¾
¾
okre´ a. Pokaza´ , ze aii 0; i = 1; : : : ; n. Czy istnieja podobne warunki dla
slon ¾
c ·
¾
form ujemnie okre´
slonych (pó÷ slonych)?
okre´
Zadanie 13. Pokaza´
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)