Tematem przewodnim są wyznaczniki macierzy stopnia 3.
Plik porusza kwestie takie jak: wzór Straussa, macierz diagonalna, wyznacznik macierzy górnotrójkątnej, macierz odwrotna na macierzy kwadratowej.
Matematyka I
Wyznacznik macierzy stopnia 3 (wzór Starrusa)
Rozwijając względem pierwszego wiersza możemy go obliczyć wyznaczając 3 wyznaczniki stopnia 2.
Wyliczając teraz jak w przykładzie 2 wyznaczniki stopnia 2 otrzymamy tzw. schemat Sarrusa dla wyznaczników stopnia 3. Praktycznie jednakże bardziej użyteczna wydaje się być metoda dopisywania dwóch pierwszych kolumn lub dwóch pierwszych wierszy do wyznacznika:
Dla przykładu obliczmy wyznaczniki:
oraz dopisując kolumny lub wiersze wyznacznik:
Łatwo także pokazać, żę wyznacznik macierzy jednostkowej stopnia n wynosi 1, czyli: det In = 1.
Twierdzenie 2.
Wyznacznik macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej tego wyznacznika (diagonali).
Przykład
Twierdzenie 2
Wyznacznik macierzy górnotrójkątnej lub dolnotrójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na diagonali tej macierzy. Przez macierz górnotrójkątną rozumiemy macierz, która ma pod diagonalą same zera, zaś przez macierz dolnotrójkątną taką macierz, która ma nad diagonalą same zera.
Przykład macierzy górnotrójkątnej i jej wyznacznik:
det (Α Β ) = detA det B dla macierzy stopnia n
wzór Cauchy′ego
Twierdzenie 3
Operacje elementarne (wybrane) na wierszach nie zmieniają wartości wyznacznika.
α) Jeśli wszystkie wyrazy i -tego
wiersza są równe zero, to detA = 0
β) Jeśli dwa wiersze są proporcjonalne
to det A =0 χ) Dodanie (odjęcie) wyrazów i - tego wiersza do wyrazów j- tego wiersza (j≠i) nie zmienia wartości wyznacznika, również dodanie wyrazów wiersza pomnożonego przez stałą liczbę rzeczywistą
δ) Zamiana wszystkich wierszy na kolumny nie zmienia wartości wyznacznika, czyli te same operacje można wykonać dla kolumn wyznaczników
ε) Wspólny czynnik z danego wiersza można wyłączyć przed znak wyznacznika
γ) zamiana miejscami dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika.
Macierz A stopnia n, której wyznacznik det A jest różny od zera, nazywamy macierzą nieosobliwą. Jeżeli zaś det A = 0, to macierz A nazywamy macierzą osobliwą.
Zadanie domowe 1:
Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy:
Definicja
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy taką macierz B (stopnia n), że AB = BA = In .
Stąd ponieważ 1 = det (AB) = detA detB to detA ≠ 0, czyli macierz A jest nieosobliwa. Oznaczenie:
B = A-1 ; AA-1 = A-1A = In
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)