Transformacje częstotliwościowe
Transformacja Fouriera
Z rozkładu funkcji okresowej na nieskończony szereg Fouriera otrzymujemy:
∞
X =∫ x t e− j t dt
−∞
gdzie
= 2 f
tr. odwrotna
∞
1
x t =
∫ X e j t d
2 −∞
Przypadek dyskretny:
N −1
X k = ∑ x ne
− j 2 n
k
N
gdzie 0≤k ≤ N −1 (dyskretne częstotliwości)
n=0
z zależności Eulera e j =cos− j sin otrzymujemy równanie równoważne:
N −1
k
k
X k = ∑ x n cos 2 n − j sin 2 n
N
N
n=0
Oba powyższe wzory stanowią definicję DFT
[
tr. odwrotna:
N −1
k
j 2n
1
N
x n= ∑ X k e
N k =0
]
gdzie 0≤n≤N −1
Funkcja X k =A k j k nazywana jest dyskretnym widmem lub dyskretną transformatą
Fouriera ( DFT ) sygnału x n gdzie:
∣X k ∣= Ak widmo amplitudowe (moduł)
●
arg X k =k widmo fazowe (argument)
●
-1-
Własności tr. Fouriera
1) Okresowa
N− 1
−j
X k N = X k = ∑ x n e
2
kN n
N
k=0
2) odwracalna
N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');
3) liniowa
dla
x n=a y nb z n mamy
X k =a Y k b Z k
4) przesunięcie w czasie
dla
x n= y nn 0 mamy
N −1
− j 2 nn0
X k = ∑ y ne
k
N
n=0
5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja częstotliwości)
dla
1
X k =Y k k 0 =
N
x n=e
j 2n
k0
N
N −1
∑ Y k k 0 e
− j 2 n
k k 0
N
mamy
k=0
y n
6) splot (w dziedzinie czasu)
dla
x n= y n∗z n mamy
X k =Y k Z k
(operacja splotu pokazać wzór; dalsze wyjaśnienia przy okazji filtrów)
7) splot w częstotliwości
dla
x n= y n z n mamy
X k =Y k ∗Z k
-2-
Interpretacja geometryczna DFT
N −1
X k = ∑ x ne
− j 2 n
k
N
n=0
wiemy, że
f=
F s=2 oraz
f=
2k
N
stąd
2k
k
=Fs
N
N
Kombinacja liniowa elementów bazy
w=∑ nv n
n
Zatem
= x n=[ x 0 , x 1 , ... , x N −1] oraz
− j 2n
v n=e
k
N
to w k =? ??
Pytania:
k
1) Czy wektory v n=e− j 2 n N tworzą bazę przestrzeni ℂ N ?
2) Jaką bazę (ortonormalną czy ortogonalną) ?
N=512; n=(0:N-1);
v0=cos(2*pi*0/N*n);
v1=cos(2*pi*1/N*n);
v2=cos(2*pi*2/N*n);
v3=cos(2*pi*3/N*n);
plot(n,v0,';k=0;',n,v1,';k=1;',n,v2,';k=2;',n,v3,';k=3;');
v0*v0', v1*v1', v1*v2'
N=4;n=(0:N-1);k=(0:N-1)';
E = e^(-j*2*pi*k*n/N);
E*E'
-3-
Przykłady
Impuls Kroneckera
x n= n
N −1
X k = ∑ ne
− j 2 n
k
N
=1 e− j 0=1
n=0
N=256; x = zeros(N,1); x(1) = 1;
X=fft(x);f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
Funkcja grzebieniowa
∞
T n =∑ k=−∞ n−kT
N −1
− j 2n
X k = ∑ T ne
n=0
k
N
N −1
− j 2 n
=∑ e
n=0
k
N
{
= N , k =0
0, k ≠0
N=256; x = ones(N,1); x(1) = 1;
X = fft(x); f=(0:N-1)./N;
plot(f,abs(X),';abs(X);',f,real(X),'*;real(X);',f,imag(X),'o;imag(X);');
axis([0,1,-1,2]);
(w obu przypadkach X(k) jest rzeczywiste !!!, ale to wyjątek)
Dla sygnałów rzeczywistych x ∈ R N (wszystkie próbki sygnału rzeczywiste) widmo
X k =A k j k posiada dodatkowo własności:
(…)
…-
Własności tr. Fouriera
1) Okresowa
N− 1
−j
X k N = X k = ∑ x n e
2
kN n
N
k=0
2) odwracalna
N=1024;n=(0:N-1);x=randn(1,N);X=fft(x);y=ifft(X);
plot(n,x,';x;',n,real(y),';y;');
3) liniowa
dla
x n=a y nb z n mamy
X k =a Y k b Z k
4) przesunięcie w czasie
dla
x n= y nn 0 mamy
N −1
− j 2 nn0
X k = ∑ y ne
k
N
n=0
5) przesunięcie w częstotliwości (modulacja…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)