To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Systemy aksjomatyczne w naukach formalnych
TERMINY i ich definiowanie Pojęcia PIERWOTNE (niezdefiniowane, lub zdefiniowane za pomocą definicji aksjomatycznych) i WTÓRNE (zdefiniowane za pomocą pojęć pierwotnych lub innych pojęć zdefiniowanych przy ich pomocy)
Pojęcia pierwotne są dokładnie wymienione
Dąży się do tego, aby pojęć pierwotnych było jak najmniej
ZDANIA i ich uzasadnianie Zdania (tezy) systemu dzieli się na zdania PIERWSZE (AKSJOMATY), przyjęte bez dowodu, i zdania WTÓRNE - wydedukowane ze zdań pierwszych za pomocą niezawodnych (dedukcyjnych) reguł wnioskowania. Aksjomaty są zazwyczaj wyraźnie wymienione.
Dąży się aby liczba aksjomatów była jak najmniejsza. Zbór aksjomatów powinien być niezależny. Zbiór aksjomatów jest niezależny, gdy żadnego aksjomatu nie da się wydedukować z pozostałych.
REGUŁY wnioskowania
Reguły wnioskowania, które wychodząc od prawdziwych przesłanek prowadzą zawsze do prawdziwych wniosków, nazywamy niezawodnymi lub dedukcyjnymi. Niektóre formalne własności teorii niesprzeczność
rozstrzygalność
zupełność
System jest NIESPRZECZNY gdy wśród jego tez nie ma pary zdań sprzecznych: p i ~p. Zwykle system nie zawiera zdań sprzecznych wśród swych aksjomatów, może się jednak zdarzyć, że takie zdania dadzą się wydedukować z aksjomatów. Sprzeczność teorii jest bardzo poważną wadą, ponieważ z pary zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie: (p ∧ ~p) ⊃ q
System jest ROZTRZYGALNY gdy istnieje metoda, która pozwala o każdym zdaniu z danej dziedziny rozstrzygnąć w skończonej liczbie kroków czy jest prawdziwe ono czy nie.
Przykład zdania nierozstrzygalnego: "Liczba gwiazd we wszechświecie jest parzysta".
System jest ZUPEŁNY gdy z jego aksjomatów dadzą się wydedukować wszystkie zdania prawdziwe w danej dziedzinie (każde zdanie prawdziwe jest tezą systemu).
Jeśli jakieś zdanie prawdziwe nie da się wydedukować, można usunąć ten mankament przyjmując dodatkowe aksjomaty. Wtedy jednak pojawiają się zwykle nowe zdania, które nie dadzą się wydedukować z aksjomatów.
Kurt Gödel udowodnił, że wszystkie bogatsze teorie w naukach formalnych (tzn. teorie zawierające w sobie arytmetykę liczb naturalnych) są niezupełne. Wynik Gödla (nad)interpretuje się często jako dowód na istnienie granic ludzkiego poznania: nie da się zbudować takiej teorii która wyjaśniałaby wszystko.
(…)
…, że wszystkie bogatsze teorie w naukach formalnych (tzn. teorie zawierające w sobie arytmetykę liczb naturalnych) są niezupełne. Wynik Gödla (nad)interpretuje się często jako dowód na istnienie granic ludzkiego poznania: nie da się zbudować takiej teorii która wyjaśniałaby wszystko. …
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)