Statystyka matematyczna prof. dr hab. Grażyna Trzpiot, Wykład 4
Metody estymacji:
Metoda momentów
Metoda największej wiarygodności
Metoda najmniejszych kwadratów
METODA MOMENTÓW - dla dużych prób!
Estymator parametru Θ będącego pewnym momentem rzędu r populacji jest odpowiednim momentem z próby.
Estymatory uzyskiwane tą metodą są: zgodne, obciążone, nieefektywne.
METODA NAJWIĘKSZEJ WIARYGODNOŚCI (MNW)
Pozwala na znalezienie parametrów w takich rozkładach populacji, których postać funkcyjna jest znana.
Wiarygodnością (funkcją wiarygodności) n-elementowej próby prostej nazywamy wyrażenie postaci:
f(xi, Θ) - jest funkcją gęstości
p(xi, Θ) - jest funkcją prawdopodobieństwa
Θ - jest pojedynczym parametrem lub wektorem parametrów
Estymatorem najwiarygodniejszym nazywamy taki estymator Tn= Θ parametru Θ, że jego wartości maksymalizuje wiarygodność próby.
W praktyce znajdujemy ekstremum funkcji ln α (ekstremum jest w tym samym punkcie, co dla α, a różniczkowanie jest łatwiejsze)
- dla próby prostej α, to iloczyn ln α jest sumą.
Twierdzenie
Jeżeli istnieje najefektywniejszy oraz dostateczny estymator parametru Θ, to można je otrzymać MNW.
Twierdzenie.
Jeżeli Tn jest najwiarygodniejszym estymatorem parametru Θ w ciągłym rozkładzie populacji, to estymator ten (dla dużych prób) ma rozkład asymptotycznie normalny.
Twierdzenie.
Jeżeli jest najwiarygodniejszym estymatorem parametru Θ, a Q=g(Θ) jest innym parametrem, będącym monotonicznym przekształceniem parametru Θ, to najwiarygodniejszym jego estymatorem jest Własności estymatorów uzyskiwanych MNW:
- asymptotyczna nieobciążoność
- zgodność
- asymptotyczne efektywność
- niezmienność względem monotonicznych przekształceń
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
Stosowana do estymacji parametrów funkcji wyrażających różne zależności pomiędzy zmiennymi losowymi, których łączne obserwacje stanowią wyniki próby z wielowymiarowej populacji.
Metoda ta polega na takim dobraniu szacowanych parametrów, że suma kwadratów odchyleń empirycznych wartości danej funkcji od jej szacowanych wartości była minimalna.
Niech g(x, Θ) będzie pewną funkcją w wielowymiarowym rozkładzie wektora losowego, którego obserwacje (xi,yi) dla i=1,2,…,n elementową próbę prostą.
(…)
… takiej funkcji g, że jest ona funkcją regresji Y względem wektora zmiennych X w wielowymiarowym rozkładzie (Y,X).
Do liniowej funkcji g estymatory uzyskane MNK są: zgodne, nieobciążone, najefektywniejsze (w klasie estymatorów liniowych).
Im mniejsza próba tym mniejsze obciążenie estymatora.
Im mniejszy poziom ufności tym mniejsza długość przedziału ufności
Im większa próba tym mniejsza długość przedziału ufności.
Poziom istotności to prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju polegającego na odrzuceniu prawdziwej hipotezy Ho.
Hipoteza Ho
Decyzja
Prawdziwa
Fałszywa
Przyjąć
Decyzja prawidłowa
Błąd 2 rodzaju (prawd. Β)
Odrzucić
Błąd 1 rodzaju (prawd. Α)
Decyzja prawidłowa
Obszar krytyczny zależy od:
Sformułowanej H1 Rodzaju statystyki testowej
Poziomu istotności Obserwowany poziom istotności (p) dla ustalonego testu statystycznego jest to prawdopodobieństwo odpowiadające obserwowanej wartości testu wyznaczonej dla próby statystycznej
p < Jeżeli poziom istotności mamy mniejszy od urojonego poziomu istotności testu (np. 0,05) wówczas odrzucamy H0 Jeżeli wartość statystyki testowej wpada do obszaru krytycznego to odrzucamy hipotezę Ho na rzecz hipotezy H1. Wówczas z prawdopodobieństwem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)