1 Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2 dr Jolanta Dymkowska Różniczka n-tego rzędu funkcji dwóch zmiennych Definicja Niech funkcja f ma w otoczeniu punktu ( x 0 , y 0) pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie. Różniczką n-tego rzędu funkcji f w punkcie ( x 0 , y 0) nazywamy funkcję d nf ( x 0 , y 0) zmiennych ∆ x i ∆ y określoną wzorem: d nf ( x 0 , y 0) (∆ x, ∆ y ) = ∂ ∂x ∆ x + ∂ ∂y ∆ y n f ( x 0 ,y 0) We wzorze tym symbole ∂ ∂x i ∂ ∂y oznaczają odpowiednio operacje różniczkowania po zmiennych x i y , natomiast potęgę traktujemy formalnie do otrzymania pochodnych cząstkowych wyższych rzędów. Różniczką n-tego rzędu funkcji f oznaczamy krótko dnf . W szczególności różniczka rzędu n ma postać: • n = 1 , to df ( x 0 , y 0) (∆ x, ∆ y ) = ∂f ∂x ( x 0 , y 0) ∆ x + ∂f ∂y ( x 0 , y 0) ∆ y • n = 2 , to d 2 f ( x 0 , y 0) (∆ x, ∆ y ) = ∂ 2 f ∂x 2 ( x 0 , y 0) (∆ x ) 2 + 2 ∂ 2 f ∂x∂y ( x 0 , y 0) ∆ x ∆ y + ∂ 2 f ∂y 2 ( x 0 , y 0) (∆ y ) 2 • n = 3 , to d 3 f ( x 0 , y 0) (∆ x, ∆ y ) = ∂ 3 f ∂x 3 ( x 0 , y 0) (∆ x ) 3 + 3 ∂ 3 f ∂x 2 ∂y ( x 0 , y 0) (∆ x ) 2 ∆ y + + 3 ∂ 3 f ∂x∂y 2 ( x 0 , y 0) ∆ x (∆ y ) 2 + ∂ 3 f ∂y 3 ( x 0 , y 0) (∆ y ) 3 Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych Twierdzenie Niech funkcja f ma w otoczeniu punktu ( x 0 , y 0) pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie oraz niech ( x, y ) będzie dowolnym punktem z tego otoczenia. Wówczas na odcinku łączącym punkty ( x 0 , y 0) i ( x, y ) istnieje punkt ( xc, yc ) taki, że f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0) + 1 1! df ( x 0 , y 0) ( x − x 0 , y − y 0) + 1 2! d 2 f ( x 0 , y 0) ( x − x 0 , y − y 0) + + . . . + 1 ( n − 1)! d n− 1 f ( x 0 , y 0) ( x − x 0 , y − y 0) + 1 n ! d nf ( x c, yc ) ( x − x 0 , y − y 0) 2 Równość powyższą nazywamy wzorem Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Ostatnik składnik w tym wzorze nazywamy n-tą resztą i oznaczamy Rn . Jeżeli punkt ( x 0 , y 0) = (0 , 0) to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina. Przykład Napisać wzór Taylora z resztą R 2 dla funkcji f ( x, y ) = x 2 y w otoczeniu punktu ( − 1 , 1). Rozwiązanie Wzór Taylora w otoczeniu punktu ( − 1 , 1) z resztą R 2 ma postać: f ( x, y ) = f ( − 1 , 1) + 1 1! df ( − 1 , 1) ( x + 1 , y − 1) + 1 2! d 2 f ( x c, yc
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)