Rachunek całkowy funkcji dwóch zmiennych-zadania

InŜ. Śr. I rok, sem.2. Rachunek całkowy funkcji dwóch zmiennych.
Zad.1. Oblicz całki
ex+ y ds
∫∫
Ω = [0,1]x[0,2]
Ω
∫∫ ( x
2
+ xy)ds
trójkąt o wierzchołkach A(0,0), B(2,2), C(2,4) lub
Ω
trójkąt o wierzchołkach A(0,0), B(2,2), C(3,0)
∫∫ ( x + y + 3)ds
koło o środku w S(0,0) i promieniu r=3 lub
Ω
pierwsza ćwiartka koła o środku w S(0,0) i promieniu r=3 lub
pierścień o środku w S(0,0) i promieniach r=3, R=5
Zad.2. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
a) y=x2, z=x2+ y2, y=4, z=0
b) x2+ y2=9, z=0, z=x+y+5
c) x2+ y2=9, z=0, z=x2+ y2.
Tą samą objętość policz z wykorzystaniem wzoru na objętość bryły obrotowej.
d)* z=x2+ y2, z=2x+2y
Zad.3**
∫∫
e −(x
2
+ y2 )
ds
Ω
gdzie
– cała płaszczyzna.
Wsk. Zastosuj współrzędne biegunowe.
Podaj interpretację geometryczną obliczeń.
Naszkicuj wykres funkcji
z( x, y ) = e
−(x2 + y2 )
Zad.4. Oblicz pole powierzchni paraboloidy obrotowej z=x2+ y2 uciętej na wysokości h.
Zad.5. Wykorzystując całki podwójne wyprowadź wzór na pole powierzchni kuli.
Zad.6. Oblicz
∫ zdl
gdzie L jest
L
a) łukiem okręgu o środku w S(0,0), promieniu r=4 zawartym w I ćwiartce, z(x,y)=xy
b) brzegiem kwadratu o wierzchołkach A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1), z(x,y)=xy
c) łukiem paraboli y=x2, 0 ... zobacz całą notatkę