pytania na zaliczenie cz 2

Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Algebra-Zestaw 2 Grupy II 1. Oblicz NWD(344 ,  65), NWD(615 ,  290). 2. Wypisz wszystkie elementy grup  Z 7,  Z∗ 7,  Z 8,  Z∗ 8. 3. Wykorzystując algorytm euklidesa znajdź element odwrotny do 7 w Z∗ 31 oraz  Z ∗ 137. 4. Udowodnij, że 5 n  + 3 i 7 n  + 4 są względnie pierwsze dla dowolnego  n . 5. Niech  Dn  oznacza zbiór wszystkich izometrii własnych  n -kąta foremnego F  na płaszczyźnie ( n 3). (a) Sprawdzić, że zbiór  Dn  tworzy grupę względem składania odwzorowań. (b) Sprawdzić, że  Dn  tworzy podgrupę grupy  Sn . (c) Czy  Dn  jest grupą cykliczną? (d) Jaki jest rząd grupy  Dn ? (e) Niech  n -kąt foremny  F  będzie umieszczony w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie w ten sposób, że jego środek pokrywa się z początkiem układu  O  oraz jeden z jego wierzchołków leży na dodatniej półosi  Ox . Wykazać, że wtedy  Dn  =  { id , a, a 2 , . . . , an− 1 , b, ba, . . . , ban− 1 } , gdzie  a  jest obrotem płaszczyzny wokół punktu  O o kąt 2 π n  w kierunku dodatnim, natomiast  b  jest symetrią względem osi  Ox . (f) Sprawdzić, że  an  = id oraz  b 2 = id. (g) Którą spośród izometrii  { id , a, a 2 , . . . , an− 1 , b, ba, . . . , ban− 1 }  jest ab  i ogólniej  akb , gdzie  k ∈ { 0 ,  1 , . . . , n} ? (h) Zbudować tabelkę mnożenia grupy  D 3. (i) Zbudować tabelkę mnożenia grupy  D 4 . (j) Znaleźć izomorfizm grup (Z n,  +) i ( On, ◦ ), gdzie  On  grupa obrotów n -kąta foremnego  F  na płaszczyźnie ( On  =  { id , a, a 2 , . . . , an− 1 } ). 1 12.10.2011 ... zobacz całą notatkę