Przykłady funkcjonałów dwuliniowych - wykład

Zadania z algebry dwuliniowej (zestaw 3)
P RZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW
DWULINIOWYCH
1. Które z wymienionych funkcji sa˛ formami dwuliniowymi na odpowiednich przestrzeniach liniowych:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
β(x, y) = xT · y, gdzie x, y ∈ K n za´ K jest ciałem;
s
β(x, y) = x · yT , gdzie x, y ∈ K n za´ K jest ciałem;
s
β(A, B) = tr (AB), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´ K jest ciałem;
s
β(A, B) = tr (AB − BA), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´ K jest ciałem;
s
β(A, B) = AB, gdzie A, B ∈ M(n, K) za´ K jest ciałem;
s
β(A, B) = tr (A + B), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´ K jest ciałem;
s
β(A, B) = tr (ABT ), gdzie A, B ∈ M(n, K) za´ K jest ciałem;
s
β(x, y) = Re (xy), gdzie x, y ∈ C za´ C jest przestrzenia nad R;
s
˛
β(x, y) = Re (xy), gdzie x, y ∈ C za´ C jest przestrzenia nad R;
¯
s
˛
β(x, y) = Im (xy), gdzie x, y ∈ C za´ C jest przestrzenia nad R;
¯
s
˛
β(x, y) = |xy|, gdzie x, y ∈ C za´ C jest przestrzenia nad R;
s
˛
˛
˛
β( f , g) = ab f gdx, gdzie f , g sa funkcjami ciagłymi na przedziale [a, b];
b
2 dx, gdzie f , g sa funkcjami ciagłymi na przedziale [a, b];
β( f , g) = a ( f + g)
˛
˛
b
β( f , g) = a f g dx, gdzie f , g sa funkcjami ró˙ niczkowalnymi oraz f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0;
˛
z
β( f , g) = ( f g)(a), gdzie f , g ∈ K[X] oraz a ∈ K;
β( f , g) = deg( f g), gdzie f , g ∈ K[X].
W przypadku, gdy β jest funkcjonałem dwuliniowym zbadaj, czy jest on symetryczny, sko´nie symetryczny lub
s
alternujacy.
˛
2. W sko´ czenie wymiarowych przestrzeniach dwuliniowych z poprzedniego zadania wybra´ baz˛ i znale´ c macierz
n
c
e
z´
funkcjonału dwuliniowego w tej bazie.
3. Niech C(a, b) b˛ dzie przestrzenia˛ funkcji ciagłych na odcinku (a, b) za´ G(x) b˛ dzie ustalona˛ funkcja˛ na odcinku
e
˛
s
e
(a, b) na C(a, b). Wykaza´ , ze odwzorowanie β( f , g) =
c ˙
b
a G(x) f (x)g(x) dx
jest forma dwuliniowa.
˛
˛
4. Wykaza´ , ze wielomiany Legendre’a
c ˙
P0 (x) = 1,
Pk (x) =
1
2k k!
dk
[(x2 − 1)k ],
dxk
k = 1, 2, . . . , n
tworza baz˛ ortogonalna w przestrzeni euklidesowej (Rn [X], β), gdzie β( f , g) =
˛
e
˛
1
−1 (x)g(x) dx.
5. W przestrzeni liniowej C(0, 2π) wszystkich funkcji ciagłych okre´lonych na przedziale (0, 2π) funkcjonał dwuli˛
s
niowy okre´lony jest wzorem
s
β( f , g) =
2π
f g dx.
0
Niech F b˛ dzie podprzestrzenia przestrzeni C(0, 2π) generowana przez zbiór {cos nx, sin nx : n ∈ Z} (elementy
e
˛
˛
przestrzeni F nazywamy wielomianami Fouriera).
Wyka˙ , ze układ funkcji
z ˙
1
1
1
( √ , √ cos nx, √ sin nx : n ∈ N)
π
π
2π
jest baza ortonormalna przestrzeni F oraz, ze współrz˛ dne a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , . . . funkcji f ∈ F w tej bazie wyra˙ aja
˛
˛
˙
e
z ˛
si˛ wzorami:
e
1
a0 = √
2π
2π
0
1
f (x) dx, an = √
π
2π
0
1
f (x) cos nx dx, bn = √
π
2π
f (x) sin nx dx, n = 1, 2, . . .
0
(współrz˛ dne te nazywamy współczynnikami Fouriera tej funkcji).
e
6. Niech (Ω, P) b˛ dzie przestrzenia˛ probabilistyczna˛ oraz F(Ω) przestrzenia˛ zmiennych losowych okre´lonych na tej
e
s
przestrzeni. Wykaza´ , ze funkcja β(X,Y ) = E(XY ) ... zobacz całą notatkę