Rachunek całkowy 1. 1.1. Obliczyć całki nieoznaczone: √ x dx 1.2. √ x x−1 dx x2 √ (1 + x)3 √ dx 3 x 1.3. √ ( 4 x + 2)2 √ dx x x 1.4. 1.5. 2x ex dx 1.6. e2x − 1 dx ex 1.7. 1 + cos2 x dx 1 + cos 2x 1.8. tg2 x dx 1.9. 1 + 2x2 dx x2 (1 + x2 ) 1.10. (arc sin x + ...
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 1. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x) na przedziale [a, b]. 1.1. f (x) = x4 − 2x2 + 5, [a, b] = [−2, 2] √ 1.2. f (x) = x + 2 x, [a, b] = [0, 4] 1.3. f (x) = x−1 , x+1 [a, b] = [0, 4] 1.4. f (x) = sin 2x − x, [a, b] = [−π...
6. Twierdzenia o pochodnych Niech . Wtedy obliczając pochodną we wszystkich możliwych punktach , możemy utworzyć nową funkcję, zwaną funkcją pochodną , gdzie jest dziedziną pochodnej. Dla przykładu:: , , , , , . Pochodną będziemy od teraz nazywać pochodną pierwszego rzędu albo pierwszą pochodną. ...
Przestrzeń liniowa Niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych, - dowolnym niepustym zbiorem. Na elementach zbioru określone są dwa działania: dodawanie dwóch elementów zbioru dla dowolnych , mnożenie elementu zbioru przez element zbioru...
2. Macierze Niech . Zbiór zawierający liczb , gdzie , , zapisanych w postaci tablicy prostokątnej nazywamy macierzą o wymiarach (macierzą o wierszach i kolumnach. Liczby nazywamy elementami macierzy. Macierz można też oznaczać: , , , . Macierz jest macierzą prostokątną o wymiarach . Jeżeli , to ...
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej Każdej macierzy można przyporządkować liczbę rzeczywistą, zwaną wyznacznikiem macierzy. Wyznacznik macierzy oznaczamy symbolem lub . Liczbę nazywamy stopniem wyznacznika. Wyznacznik definiuje się rekurencyjnie w zależności od jego stopnia. Niech , czyli . Wtedy...
4. Układy równań liniowych Układ równań o niewiadomych ma postać Układ równań można zapisać w postaci macierzowej , gdzie jest macierzą podstawową układu lub macierzą współczynników, jest wektorem niewiadomych, jest wektorem wyrazów wolnych. Przykład
5. Układy równań liniowych jednorodnych Układ równań liniowych nazywamy układem równań liniowych jednorodnych. Układ równań liniowych jednorodnych ma zawsze rozwiązanie zerowe , które nazywa się też rozwiązaniem trywialnym. Twierd...
Funkcje Niech dane będą zbiory niepuste , . Definicja 1.1 Funkcją określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu . Funkcję taką oznaczamy przez , lub dokładniej albo tradycyjnie , gdzie . W dalszym ciągu rozważać będziemy fun...
Ciągi liczbowe Definicja 2.1 Funkcję nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji oznaczamy symbolem i nazywamy n-tym lub ogólnym wyrazem ciągu. Ciąg zapisujemy również w postaci . Przykłady , , . Definicja 2.2 Ciąg liczbowy nazywamy arytmetycznym, jeżeli dla każdego różnica jest stała.
