To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
5. Układy równań liniowych jednorodnych
Układ równań liniowych
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Układ równań liniowych jednorodnych ma zawsze rozwiązanie zerowe , które nazywa się też rozwiązaniem trywialnym. Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania układu równań liniowych jednorodnych jest, aby rząd macierzy współczynników był mniejszy od liczby niewiadomych .
Przykład
Układ równań
oprócz rozwiązania zerowego , , , ma także rozwiązanie niezerowe, gdyż
, , .
Rozważmy układ równań Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania układu równań liniowych jednorodnych o niewiadomych jest, aby .
Przykład
Układ równań
ma tylko rozwiązanie zerowe, gdyż
.
Przykład
Układ równań
ma rozwiązanie niezerowe, gdyż
oraz .
Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementarnych.
Niech dany będzie układ równań
Macierz podstawowa tego układu ma postać
Tworzymy macierz rozszerzoną (uzupełnioną)
.
Wykonując operacje elementarne, sprowadzamy macierz do postaci kanonicznej (bazowej), w rezultacie otrzymamy postać kanoniczną macierzy Niewiadome , , , , których współczynniki są elementami macierzy nazywamy zmiennymi bazowymi, natomiast zmienne , , , nazywamy zmiennymi niebazowymi (swobodnymi). Zmienne niebazowe traktuje się dalej jako parametry, tzn. przyjmujemy , , , . Otrzymamy wtedy układ postaci
.
Rozwiązanie tego układu nazywa się rozwiązaniem ogólnym.
Przykład
Metodą operacji elementarnych rozwiązać układ równań
Macierz jest postaci
Postać kanoniczna tej macierzy jest następująca
Stąd wynika, że zmienne są bazowe, a zmienne niebazowe. Przyjmując , możemy napisać rozwiązanie ogólne
.
Jeżeli postać kanoniczna macierzy jest następująca
przy czym co najmniej jeden z elementów , , jest różny od zera, to dany układ jest sprzeczny.
Przykład
Rozwiązać układ równań metodą operacji elementarnych
(…)
…
5. Układy równań liniowych jednorodnych
Układ równań liniowych
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Układ równań liniowych jednorodnych ma zawsze rozwiązanie zerowe , które nazywa się też rozwiązaniem trywialnym. Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania układu równań liniowych jednorodnych jest, aby rząd macierzy współczynników był mniejszy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)