Wykład 5 Niech f : V → W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych. Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V , których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W . Jądro przekształcenia oznaczamy przez...
MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI. k = {1,2,..., k} Definicja 1. Macierzą nazywamy kartezjańskim k × j każde odwzorowanie określone na iloczynie .Wartość tego odwzorowania na parze (i,j) oznaczamy aij i nazywamy zapisujemy w formie: a11 a 21 ak1 a12 elemente...
Macierze nieosobliwe Macierze nieosobliwe definiujemy tylko dla macierzy kwadratowych. Definicja 1. Macierz taka że: An×n nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli istnieje macierz Bn×n A⋅ B = B ⋅ A = I Twierdzenie 1. Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to macierz B z definicji 1 jest...
Wykład 11 Macierze cd. Jeśli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn to macierz taką nazywamy macierzą kwadratową. Mówimy, że A jest macierzą stopnia n jeśli ma wymiar n × n. Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o współczynnikach z ciała K oznaczać będziemy przez Mn (K). Jeśli A ∈ Mn ...
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej Definicja 1. (odwzorowania liniowego) ( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) f : X →Y - przestrzenie wektorowe :⇔ jest odwzorowaniem liniowym 1 ∀ x1 , x2 ∈X : f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 ∀α∈K : ∀ x∈X : f (α x ) = α ⋅ f ( x ) WNIOSEK: Jeżeli...
Odwzorowania wieloliniowe Formy wieloliniowe Wyznaczniki Przypomnienie: n = {1, 2,..., n} Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każde bijektywne odwzorowanie tego zbioru na siebie Przykład 0. A = {1, 2,3, 4,5} , B = {3, 2,5,1, 4} ...
Wykład 7 Mówimy, że wektor v jest ortogonalny do wektora w jeśli (v|w) = 0 i pioszemy v⊥w. Niech V będzie przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym (·|·) i niech w1...
Wykład 12 Permutacje Niech X będzie zbiorem. Każdą wzajemnie jednoznaczną funkcję przekształcającą X na X nazywamy permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy przez S(X). Uwaga 1 Permutacjami są wszystkie wzajemnie jednoznaczne przekształcenia to znaczy funkcje, które są ...
Wykład 5 Liczby a i b nazywamy względnie pierwszymi jeśli NWD(a, b) = 1. Twierdzenie 1 Liczby a i b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby całkowite u, v, takie że au + bv = 1. Twierdzenie 2 Równanie a ·n x = 1 ma rozwiązanie w pierścieniu Zn wtedy i tylko wtedy gdy licz...
Wykład 4 Pierścienie Pierścieniem nazywamy niepusty zbiór P wraz z dwoma (binarnymi) działaniami + i · (będziemy często pisać (P, +, ·)) w tym zbiorze, które spełniają następujące aksjomaty. Dla każdych a, b, c ∈ P : (1) Jeśli a, b ∈ P wtedy a + b, a · b ∈ P . (2) a + (b + c) = (a + b) + c. (...
