Metody aktuarialne Wykład 2 Indywidualny i kolektywny model ryzyka 2012-10-27 2 1. Portfel ubezpieczeń 2012-10-27 3 Portfel ubezpieczeń Ilościowy zbiór ryzyk w znaczeniu przedmiotu ubezpieczenia, jakie obsługuje zakład ubezpieczeń. Wszystkie ubezpieczenia prowadzone przez dane towarzystwo ubezpieczeń. Wszystkie ubezpieczenia danej grupy. Utworzony zbiór jednorodnych ryzyk (np. w celu oceny ich szkodowości, ustalenia składki, tworzenia rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, podjęcia decyzji reasekuracyjnych ). 2012-10-27 4 Formalnie portfelem ubezpieczeń będziemy nazywać zbiór ryzyk X X X ,..., , 2 1 określonego typu, które są zmiennymi losowymi. 2012-10-27 5 W dalszym ciągu będziemy zainteresowani tzw. wielkością portfela , czyli sumą zmiennych losowych X X X Z ... 2 1 Podstawowe znaczenie w ocenie ryzyka ubezpieczeniowego danego portfela (będącego podstawą podejmowania decyzji dotyczących wysokości składki, wysokości rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, rodzaju reasekuracji) ma wyznaczenie: momentów (w szczególności średniej i wariancji) zmiennej Z ; rozkładu zmiennej Z . 2012-10-27 6 W celu wyznaczenia charakterystyk liczbowych i rozkładu zmiennej Z stosuje się dwa zasadnicze podejścia: wielkość portfela Z ( ryzyko portfela) modeluje się jako sumę odszkodowań (wypłat) pochodzących z różnych i zidentyfikowanych polis, które tworzą portfel zamknięty ( indywidualny model ryzyka) . W tym przypadku κ jest ustaloną liczbą ryzyk (polis) tworzących portfel (dalej będziemy przyjmować, że n ) . 2012-10-27 7 wielkość portfela Z ( ryzyko portfela) modeluje się jako sumę kolejnych odszkodowań (wypłat) pochodzących z danego portfela bez identyfikowania polis. Mówimy wówczas o portfelu otwartym ( kolektywny model ryzyka) . W tym przypadku κ jest zmienną losową opisującą liczbę szkód (wypłat) w portfelu (w ustalonym okresie czasu) (dalej będziemy przyjmować, że K ). 2012-10-27 8 2. Indywidualny model ryzyka 2012-10-27 9 Indywidualny model ryzyka wykorzystuje się do modelowania łącznych szkód w portfelu złożonym z
(…)
… w postaci:
Var Z Var B E K Var K E B .
2
2012-10-27
19
Funkcja tworząca momenty zmiennej losowej Z jest równa:
M Z s E e
s X 1 ... X n
M s ,
n
i 1
gdzie
Xi
M X i s hIi M Bi s pi qi M Bi (s) ,
przy czym:
- M X i , M Bi - funkcje charakterystyczne odpowiednio zmiennej
losowej X i oraz Bi ,
- hI i 1 qi qi s - funkcja tworząca zmiennej losowej zerojedynkowej.
2012-10-27
20
Stąd momenty zwykłe rzędy r zmiennej Z są równe:
(
r ,Z E Z r M Zr ) (0), r 1,2,3,... .
Funkcja tworząca (generująca) kumulanty
CZ (s) ln M Z (s)
Kumulantą rzędu r zmiennej losowej Z
nazywamy liczę:
(r )
r CZ (0)
Stąd:
1. E (Z ) Z ,1
2
2. Var (Z ) Z Z , 2
3.
3
3
Z
(skośność)
4
4. 2 4 (kurtoza)
Z
3. Kolektywny model ryzyka…
… X1, X 2 ,... .
2012-10-27
28
Parametry rozkładu zmiennej Z najłatwiej opisać
wykorzystując funkcję tworzącą momenty
Funkcję tworzącą momenty (ftm) zmiennej Z można
otrzymać w następujący sposób:
M Z ( s ) E e sZ E E e sZ / K E M X s K
E e K ln M X s M K ln M X s .
2012-10-27
29
Funkcja tworząca momenty zmiennej modelującej łączne
szkody ma postać:
M Z ( s) M K ln M X s
lub
M Z ( s) hK M X s
Funkcja charakterystyczna:
Z ( s) hK X s .
Funkcja tworząca:
2012-10-27
hZ ( s) hK hX s .
30
Wartość oczekiwana
EZ EK E X K X
Wariancja
Var Z Var K E X E K Var X
2
2
2
K ( X ) 2 K X
2012-10-27
31
Moment centralny rzędu trzeciego:
c
E ( Z E ( Z ))3 Z ,3
c
X…
… ,3
c
3 K , 2
c
X X ,2
c
K ,3
X
3
Charakterystyki liczbowe można także otrzymać
wykorzystując funkcję generującą kumulanty
(jak w modelu ryzyka indywidualnego).
2012-10-27
32
Szczególne przypadki
Gdy K ma rozkład Poissona z parametrem λ , to
zmienna Z ma złożony rozkład Poissona o
parametrach , FX ( ZPo , FX )
Wtedy:
1. Z X
c
2. Var ( Z ) Z , 2 X , 2
c
3. Z ,3 X ,3
4. Z , 4 X , 4
2012-10-27
33
Gdy K ma rozkład dwumianowy o parametrach: m, q,
to zmienna Z ma złożony rozkład dwumianowy o
parametrach m, q, FX ( ZDwm, q, FX )
Wtedy:
1. Z m q X
c
2. Var ( Z ) Z , 2 m q ( X , 2 q ( X )2 )
c
Z ,3 m q ( X ,3 3q X X ,2 2q 2 ( X )3 )
3.
Z , 4 m q ( X , 4 4q X X ,3 3q…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)