To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE Def.: Równaniem, w którym występują pochodne (przynajmniej jedna) funkcji niewiadomej y nazywamy równaniem różniczkowym (RR). Def.: Rzędem RR nazywamy najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej. x y y − = ′ – RR I rzędu 0 2 3 = − ′ + ′ y y y – RR II rzędu IV y y x = ′ 2 – RR IV rzędu 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ – RR cząstkowe Jeżeli funkcja niewiadoma występująca w równaniu jest tylko funkcją jednej zmiennej, to RR nazywamy równaniem zwyczajnym. RR, w którym występują pochodne cząstkowe nazywamy RR cząstkowym. Dalszy opis dotyczy równań zwyczajnych. Ogólna postać: 0 ) ,..., , , ( = ′ n y y y x F gdzie niewiadomą jest y Def.: Rozwiązaniem lub całką RR (1) w zbiorze X nazywamy każdą funkcję y mającą pochodne do rzędu n włącznie, która wstawiona w miejsce y do równania (1) spełnia równanie w każdym punkcie tego zbioru tzn.: 0 ) ( ),..., ( ), ( , ( = ′ x y x y x y x F n Rozwiązanie RR (1) w interpretacji geometrycznej przedstawia krzywą zwaną krzywą całkową. Proces znajdowania nazywamy rozwiązaniem lub całkowaniem tego równania. Równania różniczkowe zwyczajne – wiadomości wstępne Przykład: Wyznaczyć funkcję tak aby C x y + = ′ 3 2 Rozwiązanie: ∫ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = C x y dx x y dx x dx x dx dy 3 2 2 2 2 6 6 6 I rzędu )] ( , [ ) ( x y x f x y = ′ tutaj dx dy y = ′ Zadanie: Wyznaczyć rozwiązanie y równania x y 2 = ′ , które przechodzi przez punkt A (0,1). Rozwiązanie: C x y xdx dy xdx dy dx x dx dy + = = = ⋅ = ∫ ∫ 2 2 2 / 2 wyznaczamy stałą C wstawiając do otrzymanego równania wartości punktu A 1 0 1 = ⇒ + = C C wynik końcowy: 1 2 + = x y – funkcję y nazywamy rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną równania różniczkowego. Zadanie można sformułować tak: 1 ) 0 ( , 2 = = ′ y x y Równanie różniczkowe + warunek początkowy to zagadnienie Couchy’ego tzn. 0 0 ) ( )], ( , [ ) ( y x y x y x f x y = = ′ Rozwiązaniem tego zagadnienia Couchy’ego nazywa się rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną. Rozwiązanie, które zawiera stałą nazywamy rozwiązaniem ogólnym. Document Outline RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)