Kartografia matematyczna I
Teoria zniekształceń (odwzorowanie kartograficzne): - Odwzorowaniem jednej powierzchni na drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość punktową między powierzchnią nazywaną oryginałem a powierzchnią nazywaną obrazem.
- Załóżmy, że w układzie współrzędnych prostokątnych OXYZ powierzchnia oryginału jest oreślona równaniami parametrycznymi: X 1 =x 1 (u,v), Y 1 =y 1 (u,v), Z 1 =z 1 (u,v) natomiast powierzchnia obrazu: X 2 =x 2 (u,v), Y 2 =y 2 (u,v), Z 2 =z 2 (u,v) . Odwzorowanie dane jest dwiema funkcjami U=f(u,v), V=g(u,v)
- Funkcje odwzorowawcze f,g - przyporządkowują każdemu punktowi P(u,v) oryginału odpowiedni punkt P'(U,V) obrazu. Powinny również istnieć funkcje F,G (odwrotne)
- Odwzorowaniem regularnym nazywamy odwzorowaniem gdy funkcie f i g spełniają warunki:
a) każdej parze wartości parametrów u,v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę wartości parametrów U,V
b) są ciągłe i co najmniej 2 krotnie różniczkowalne
c) są wzajemnie niezależne, co występuje gdy jakobian (wyznacznik) dla wszystkich wartości u,v
W odwzorowaniu regularnym obrazem punktu - punkt, krzywej - krzywa, obszaru - obszar.
- Zniekształcenia: a) kątów - Na powierzchni weźmy kąt 1 i odpowiadający mu kąt na obrazie 2 maksymalna wartość zniekształcenia występuje wtedy gdy 1 2 =90 0 i maks =2( 1 2 )
b) długości - skalą długości nazywamy stosunek obrazu odcinka do tego odcinka (nieskończenie małego) -skala długości zależy od współrzędnych punktu oraz kierunku odcinka m=m(B,L,A) , m=ds'/ds zniekształcenie długości Z m =m-1
c) pola - skalą pola nazywamy stosunek obrazu pola do tego pola (nieskończenie małego) - skala pola zależy jak wyżej. P=p(B,L,A), p=dP'/dP dP 2 =(EG-F 2 )dudv
zniekształcenie pola Z p =p-1
- Siatka kartograficzna - jest to obraz południków i równoleżników na płaszczyźnie, w przyjętym układzie geodezyjnym - linie parametryczne - są to krzywe na powierzchni określone równaniami postaci u=const i v=const (tworzą siatkę)
- kierunki główne - I tw Tissota 2. Warunki wiernokątności, wiernopolowości a) odwzorowanie wiernokątne - (na podstawie współczynników Gaussa i krzywizn przekroju elipsoidy obrotowej) Odwzorowanie jest wiernokątne jeśli w każdym punkcie dowolnego obszaru azymut A odwzorowuje się bez zniekształcenia
F=0 , E/H*r/M=1
- (na podstawie długości skal i kąta) Odwzorowanie jest wiernokątne gdy kąt między liniami parametrycznymi wynosi 1 i skala w kierunku równoleżnikowym jest równa skali w kierunku południkowym
m B =m L
(…)
… odwzorowań
1. ze względu na zniekształcenia
a) wiernokątne
b) wiernopolowe
c) równoodległościowe w jednym z kierunków
d) dowolne
2. ze względu na kształt siatki kartograficznej
a) azymutalne -obrazami południków są półproste zbiegające się w obrazie bieguna, kąty między obrazami południków nie ulegają zniekształceniu i są równe różnicom długości geograficznych południków, obrazami równoleżników są okręgi…
… jest równa skali w kierunku południkowym
mB=mL b) odwzorowanie wiernopolowe
- Odwzorowanie jest wiernopolowe gdy elementarna skala pola jest równa jeden, w dodatku gdy obrazy południków i równoleżników przecinają się pod kątem prostym to iloczyn skal jest równy jeden 3. Twierdzenia
- I twierdzenie Tissota - w dowolnym regularnym odwzorowaniu powierzchni jednej na drugą istnieją dwa kierunki prostopadłe…
… geograficznych, obrazami równoleżników są odcinki równoległe do obrazu równika
c) stożkowe - obrazami równoleżników są łuki okręgów współśrodkowych, a obrazami południków są półproste prostopadłe do obrazów równoleżników.
d) inne- pseudo…: …azymutalne, …walcowe, …stożkowe, wielostożkowe, koliste
3. ze względu na przyłożenie powierzchni
a) normalne - walec, stożek stoją pionowo w stosunku do ziemi,
- azymutalne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)