To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 14
FUNKCJE UWIKŁANE (DOKOŃCZENIE) I EKSTREMA WARUNKOWE
I. FUNKCJE UWIKŁANE
Niech Pytamy kiedy równanie F(x,y)=0 przedstawia funkcję uwikłaną y=y(x).
TWIERDZENIE 14.1 (O FUNKCJI UWIKŁANEJ)
Z:
Niech
T: 1. 2. 3. WNIOSEK:14.1
Z:
są spełnione założenia tw.14.1
T: 1. 2. 3. II. EKSTREMA WARUNKOWE
PRZYKŁAD 14.1
Zbadać ekstrema funkcji Przy warunku Zbadać ekstrema warunkowe to znaczy znaleźć ekstrema danej funkcji w dziedzinie zacieśnionej przez zadany warunek.
wstawiam do funkcji z: obliczam pochodną funkcji z: przyrównuję pochodną do zera: więc: Z warunku mamy PRZYKŁAD 14.2
przy warunku: Gdy z warunku wyliczymy: Z układu tych równań wyliczamy
otrzymaliśmy 2 punkty: druga pochodna jest równa: Funkcja z osiąga minimum lokalne w punktach Ale gdy z warunku wyliczymy: otrzymujemy: pochodna jest równa: otrzymaliśmy 2 punkty: ponieważ: Więc funkcja z osiąga maksimum lokalne w punktach: III. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE'A
Założenie:
Szukamy ekstremów funkcji y=f(x) przy warunku g(x)=0.
W tym celu tworzymy funkcje Lagrange'a:
L(x,λ):=f(x)+λg(x)
Niech Zauważam że TWIERDZENIE 14.2 (WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM WARUNKOWEGO)
Z:
funkcja f osiąga ekstremum warunkowe w x0 przy warunku: g(x)=0
T:
TWIERDZENIE 14.3 (WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM WARUNKOWEGO)
Z:
w punkcie jest spełniony warunek konieczny oraz
T:
f osiąga w x0 minimum warunkowe (maksimum warunkowe)
PRZYKŁAD 14.2 (c.d.)
zbadać ekstremum funkcji przy warunku: tworzymy funkcję Lagrange'a: Warunek konieczny:
Rozwiązując układ otrzymujemy:
(…)
… minimum warunkowe
Postępując tak samo dla kolejnych punktów znajdziemy pozostałe ekstrema warunkowe.
UWAGA:
Jeżeli: 1. i druga różniczka funkcji Lagrange'a jest określona dodatnio (ujemnie) to funkcja f osiąga w x0 minimum(maksimum) warunkowe.
2. jeżeli druga różniczka funkcji Lagrange'a jest nieokreślona lub półokreślona wtedy należy badać określoność drugiej różniczki przy warunku: DEFINICJA 14.1…
…
gdy .
Szukamy punktów stacjonarnych wewnątrz obszaru D: Więc w punkcie funkcja może posiadać ekstremum
Badamy punkty stacjonarne na brzegu obszaru D.:
konstruujemy funkcję Lagrange'a: w.k.: więc w punktach: funkcja może mieć ekstremum warunkowe.
Wartości funkcji z w tych punktach wynoszą: Więc: …
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)