To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Funkcje - pojęcia podstawowe 1.1 Definicje • Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywać będziemy każde przypo- rządkowanie elementowi zbioru X elementu zbioru Y . • Oznaczać będziemy to w sposób następujacy: f : X → Y (co odczytujemy funkcja f działa ze zbioru X w zbiór Y ) • Istotną cechą tego przyporządkowania jest fakt, że jednemu elementowi zbioru X można przypo- rządkować tylko jeden element zbioru Y . Natomiast, naturalnym stanem rzeczy jest, że kilku elementom ze zbioru X przyporządkowujemy jeden element ze zbioru Y , jak np.: w przypadku funkcji kwadratowej (dla f ( x ) = x 2, f ( − 1) = f (1) = 1). • Zbiór elementów X dla których określona jest funkcja f nazywamy dziedziną funkcji (ozna- czaną jako D , bądź Df dla podkreślenia, że jest to dziedzina funkcji f ), a zbiór elementów ze zbioru Y , przyporządkowanych elementom dziedziny nazywamy zbiorem wartości funkcji. • Kiedy dwie funkcje sa sobie równe? Dwa warunki, określające równość funkcji f ( x ) i g ( x ) to: - równość dziedzin Df ≡ Dg ; - przyporządkowywanie tych samych wartości tym samym elementom dziedziny, tzn. : ∀x ∈ Df f ( x ) = g ( x ). • Warto zauważyć, że niekiedy jedna funkcja może być zapisana w różny sposób. Opierając się na wiedzy z poprzedniego rozdziału, łatwo zauważyć, że funkcje f ( x ) = |x| i g ( x ) = √ x 2 są sobie równe. Przy porównywaniu funkcji warto pamiętać o sprawdzaniu równości dziedzin, bo paradoksalnie funkcje f ( x ) = x + 1 i g ( x ) = x 2 − 1 x− 1 nie są sobie równe, mimo, że po uproszczeniu g ( x ) będzie przyjmowała te same wartości co f ( x ) ( g ( x ) = x 2 − 1 x− 1 = x − 1). Powodem tego jest nierówność dziedzin, gdyż Df = IR a Dg = IR \{ 1 } 1.2 Własności • Funkcję f : X → Y nazywać będziemy injekcją (iniekcją) (lub funkcją różnowartościową albo typu ”1-1” ), jeśli różnym argumentom przypisywać będzie różne wartości, co możemy sformalizować następująco: ∀x 1 , x 2 ∈ Df x 1 = x 2 ⇒ f ( x 1) = f ( x 2) • implikacją faktu bycia funkcją różnowartościową, jest obserwacja, że jeśli dla x 1 i x 2 wartości f ( x 1) i f ( x 2) są sobie równe, to równe sobie muszą być również wartości x 1 i x 2. Z faktu tego korzystamy bardzo często (zwykle nawet sobie tego nie uświadamiając). Bo jeśli, przykładowo, z równości 2 a− 3 = 2 a +1 wyciągamy wniosek, że
(…)
…) → x + 1(= y + 1 = z) → ( x + 1)2 (= (y + 1)2 = z 2 )
zatem
√
( x + 1)2 = f (g(h(x))),
gdzie h(x) =
√
x, g(y) = y + 1, f (z) = z 2
• Funkcję f (x) nazwiemy funkcją ograniczoną z góry, jeśli zbiór wartości funkcji jest zbiorem
ograniczonym z góry, tzn. supremum zbioru wartości jest liczbą skończoną (różną od +∞).
Analogicznie funkcja jest ograniczona z dołu jeśli infimum zbioru wartości jest liczbą…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)