1 Cześć I 1.1 Kinematyka punktu materialnego Punktem materialnym nazywamy ciało którego rozmiary i masę możemy pomi- nąć. Np. zamiast rozpatrywać ruch całego ciała składającego się z wielu punktów możemy rozpatrywać ruch jednego punktu- środka masy. Mówimy, że ciało jest ruch jeżeli zmienia swoje położenie względem innego ciała- zatem by określić ruch potrzebujemy punktu odniesienia. Położenie możemy określić jako odległość od punktu odniesienia x , zmiana od- ległości do czasu jest nazywana prędkością: vsr = xk−xp ∆ t prędkość średnia jest różnicą położeń do czasu ruchu. Inaczej vsr = x ( t 2) −x ( t 1) t 2 −t 1 Podobnie definiujemy przyspieszenie średnie asr = ak−ap ∆ t Jeżeli różnica czasu dąży do zera- otrzymamy prędkość, przyspieszenie chwilo- we, będące pochodną położenia, czy prędkości po czasie: v = dx dt , a = dv dt , zatem przyspieszenie chwilowe jest drugą pochodną położenia a = d 2 x dt 2 2 Opis ruchu 1- wymiarowego Aby opisać ruch 1 wymiarowy wprowadzamy oś współrzędnych- z zaznaczonym punktem 0 będący naszym punktem odniesienia. Jeżeli ciało znajduje się po prawej stronie od punktu 0 to jego współrzędna jest dodatnie- w przeciwnym przypadku ujemna. Ciało może się poruszać w prawo osi- wtedy przyjmujemy, że jego prędkość jest dodatnia- lub lewo wtedy pręd- kość jest ujemna, podobnie z przyspieszeniem. 2.1 Przykład Ciało znajduje się w punkcie x=2, zaczyna poruszać się z przyspieszeniem sta- łym równym 2 m/s 2, gdzie znajdzie się po upływie 5 sekund, jaką będzie miał wtedy prędkość. Wyznaczamy funkcję prędkości v ( t ) = adt = 2 dt = 2 t + C , C jest stałą ponieważ siało na początku spoczywa v (0) = 0 to C = 0 Wyznaczmy funkcję położenia x ( t ) = v ( t ) dt = 2 tdt = 2 tdt = 2 · 1 2 t 2 + C 2 = t 2 + C 2, ponieważ x (0) = 2 to C 2 = 2 Wyznaczamy v (5) = 2 · 5 = 10 m/s 2 x (5) = 52 + 2 = 27 2.2 Przykład Niech x ( t ) = t 3 + 5 t + 3, wyznacz prędkość chwilową po 3 sekundach, oraz przy- spieszenie po 4 sekundach. v ( t ) = dx ( t ) dt = 3 t 2 + 5, v (3) = 3 · 32 + 5 = 27 + 5 = 32 m/s a ( t ) = dv ( t ) dt = 6 t , a (4) = 24 m/s 2 1 Zauważmy, że nie jest to ruch jednostajnie przyspieszony. 3 Opis ruchu na płaszczyźnie By opisać ruch na płaszczyźnie prowadzamy dwie prostopadłe osie X i Y, oraz wybieramy punkt 0 Możemy osobno rozpatrywać ruch względem osi OX, osobno względem OY- roz- bijamy w ten sposób ruch dwu- wmiarowy, na dwa ruchy jedno wymiarowe.
(…)
… , vy = vy itd...
5.2
Przykład
Niech na początku układy się pokrywają, a układ U’ porusza się względem U z
prędkością v względem x
x = x − vt, y = y, z = z, vx = vx − v, vy = vy
Powyższe transformację położenia i prędkości noszą nazwę transformacji Galileusza
6
Zasady dynamiki Newtona. Przykłady zastosowań
1. Zasada jeżeli na ciało nie działa siła lub siły się równoważą, to ciało pozostaje
w spoczynku…
… momentem pędu.
M ∆r = L2 − L1 , czyli M = ∆L ,
∆t
jeżeli ∆ω = to
∆t
M = I jest to II zasada dynamiki Newtona dla ruch obrotowego.
10
19
Prawa Newtona ruchu obrotowego
I prawo- jeżeli na układ nie działa moment siły, lub momenty się równoważą to
ciało nie obraca się lub obraca się ze stałą prędkością kątową ω
II prawo- jeżeli na układ działa niezrównoważony moment siły to powoduje on
przyspieszenie kątowe…
… obrotowego ciała rozciągłego, wszystkie jego punkty zakreślają
okręgi.
Podczas ruchu postępowego odcinek łączący dwa punkty przemieszcza się równolegle do siebie.
Dowolny ruch bryły jest złożeniem ruchu postępowego i obrotowego.
Wielkości definicyjne w ruchu obrotowym dobiera się w ten sposób by prawa
dynamiki w obu przypadkach miały podobną postać.
18
Kinematyka ruchu obrotowego (moment pędu, moment siły)
Niech siła F , obraca bryłę o kąt ∆α, wyznaczmy pracę jaką wykonała.
∆W = F sin ϕ∆l, ϕ, jest kątem pomiędzy siłą F a kierunkiem ∆l
∆l = r∆α, czyli ∆W = F r sin ϕ∆α
Wielkość M = F r sin ϕ, nazywana jest momentem siły. ∆W = M ∆α, otrzymujemy dzięki temu wzór podobny do wzorów na pracę przy ruchu postępowym.
Korzystając z iloczynu wektorowego możemy zapisać ogólny przypadek:
c = ab sin α ⇒ c = a × b
M =r×F…
… ruchu we współrzędnych biegunowych
Prędkość radialna jest równa prędkości zmiany długości wektora wodzącego R,
ˆ ˆ
vr = dR R, R jest wersorem (kierunkiem) promienia wodzącego.
dt
Prędkość transwersalna jest składową prędkości prostopadłą do prędkości
ˆ
radialnej vϕ = dϕ ϕ, ϕ jest kątem promienia wodzącego, ϕ jest kierunkiem prodt ˆ
stopadłym do wektora wodzącego.
Obie skłądowe dają w sumie całkowitą…
… jest styczna to toru ruchu- wpływa ona
na zmianę prędkości ciała.
Całkowite przyspieszenie jest równe a = a2 + a2
t
n
5
Układy inercjalne, transformacja Galileusza
Układy inercjalne śa to układ w których jest spełniona I i II zasada dynamiki.
(np. w hamującym pociągu gdy podskoczymy zaczniemy się poruszać mimo, że
w tym układzie nie działają na nas siły)
Dowolne zjawisko mechaniczne przebiega w dwóch układach…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)