To tylko jedna z 30 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Estymacja parametrów Krzysztof Topolski Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Definicja. Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX ( x ) zdefiniowaną dla wszystkich x jako FX ( x ) = P (ω : X (ω) ≤ x ). Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Przykład. Rzucamy monetą aż do momentu wyrzucenia orła. Niech p będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła w jednym rzucie. Niech X będzie zmienną losową opisującą liczbę rzutów do momentu wyrzucenia orła. Wtedy P ( X = x ) = (1 − p ) x −1 p , Ponieważ zakładamy, że rzuty są niezależne, a aby orzeł pojawił się w rzucie o numerze x musimy najpierw wyrzucić x − 1 razy reszki. Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Przykład. Rzucamy monetą aż do momentu wyrzucenia orła. Niech p będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła w jednym rzucie. Niech X będzie zmienną losową opisującą liczbę rzutów do momentu wyrzucenia orła. Wtedy P ( X = x ) = (1 − p ) x −1 p , Ponieważ zakładamy, że rzuty są niezależne, a aby orzeł pojawił się w rzucie o numerze x musimy najpierw wyrzucić x − 1 razy reszki. Estymacja parametrów Rozkład zmiennej losowej Przykład. Rzucamy monetą aż do momentu wyrzucenia orła. Niech p będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła w jednym rzucie. Niech X będzie zmienną losową opisującą liczbę rzutów do momentu wyrzucenia orła. Wtedy P ( X = x ) = (1 − p ) x −1 p , Ponieważ zakładamy, że rzuty są niezależne, a aby orzeł pojawił się w rzucie o numerze x musimy najpierw wyrzucić x − 1 razy reszki. Estymacja parametrów Przykład cd. Dla dowolnej liczby naturalnej x , P ( X ≤ x ) = x i =1 P ( X = i ) = x i =1 (1 − p ) i −1 p . n k =1 q k −1 = 1 − qn 1 − q , t = 1. FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = 1 − (1 − t ) x 1 − (1 − p ) p = 1 − (1 − t ) x , x = 1, 2, ... . Estymacja parametrów Przykład cd. Dla dowolnej liczby naturalnej x , P ( X ≤ x ) = x i =1 P ( X = i ) = x i =1 (1 − p ) i −1 p . n k =1 q k −1 = 1 − qn 1 − q , t = 1. FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = 1 − (1 − t ) x 1 − (1 − p ) p = 1 − (1 − t ) x , x = 1, 2, ... . Estymacja parametrów Przykład cd. Dla dowolnej liczby naturalnej x , P ( X ≤ x ) = x i =1 P ( X = i ) = x i =1 (1 − p ) i −1 p . n
(…)
… ma postać
d e −x
fX (x) = FX (x) = .
dx (1 + e −x )2
Estymacja parametrów
Transformacje zmiennych losowych
Twierdzenie.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie z gęstością fX (x) oraz
niech Y = g (X ), gdzie g jest funkcją ściśle monotoniczną.
Załóżmy, że fX (x) jest funkcją ciągłą oraz, że g −1 (y ) jest funkcją z
ciągłą pochodną. Wtedy gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest
postaci
d −1
fY (y ) = fX…
… oczekiwana
Przykład.
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z
gęstością rozkładu
1 −x
fX (x) = e λ, 0 ≤ x < ∞, λ > 0.
λ
Estymacja parametrów
Przykład cd.
Wartość oczekiwana EX dla zmiennej losowej o rozkładzie
wykładniczym jest równa
∞ ∞
1 x
EX = x fX (x) = x e − λ dx
−∞ 0 λ
(całkując przez części)
∞
x ∞ 1
= −xe − λ + e − λ x dx
0 0
∞ 1
= e − λ x dx = λ
0
Estymacja parametrów
Przykład cd…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)