Modele nieliniowe
Hiperbola, model wykładniczy, potęgowy;
Charakterystyki modelowe, prędkość wzrostu, stopa
wzrostu, elastyczność.
2
Klasy modeli nieliniowych
Modele liniowe względem parametrów
(np. hiperbola, model logarytmiczny, wielomian stopnia n-tego)
Modele nieliniowe względem parametrów
a) linearyzowalne
(np. model wykładniczy, potęgowy, Törquista I, II, III, potęgowowykładniczy, wykładniczo-hiperboliczny
b) modele ściśle nieliniowe
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
1
3
Klasy modeli nieliniowych (c.d.)
Pochodne cząstkowe funkcji względem parametrów oznaczmy
przez
dy
, i = 1,..., I ; I = K + 1
dbi
Jeśli wszystkie pochodne cząstkowe są niezale ne od
jakiegokolwiek parametru to model jest liniowy względem
parametrów.
Jeśli choć jedna pochodna zale y od choćby jednego z
parametrów to model jest nieliniowy względem
parametrów.
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
4
Klasy modeli nieliniowych (c.d.)
Przykład 1:
y = b0 +
b1
;
x
dy
= 1;
db0
dy 1
=
db1 x
Jest to model liniowy/nieliniowy względem parametrów, poniewa
….
Przykład 2:
y = b0 eb1x ;
dy
= eb1x ;
db0
dy
= b0 x ⋅ eb1x
db1
Jest to model liniowy/nieliniowy względem parametrów, poniewa
….
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
2
5
Oznaczenia:
Y, Xi oryginalne zmienne w modelu,
bi – oryginalne oceny parametrów modelu,
Zi – pomocnicze zmienne objaśniające,
V – pomocnicza zmienna objaśniana,
ci – oceny parametrów z pomocniczego modelu liniowego,
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
6
Model liniowy względem
parametrów
Tylko, gdy zmienną Y da się przedstawić jako sumę
składników liniowych:
I
Y = ∑ bi Z i ;
Z i = Gi ( X 1 ,..., X I )
i =1
gdzie Gi to jednoznaczne przekształcenie
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
3
7
Model linearyzowalny
W modelu linearyzowalnym:
I
V = ∑ ci Z i ;
Z i = Gi ( X 1 ,..., X I )
i =1
V = G (Y )
ci = H i (b1 ,..., bI )
gdzie Gi, Hi to jednoznaczne przekształcenia.
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
8
Szacowanie parametrów,
weryfikacja
Zadanie estymacji, weryfikacji nieliniowego modelu oryginalnego
jest równowa ne zadaniu estymacji i weryfikacji pomocniczego
modelu liniowego
Wektor parametrów z pomocniczego modelu linniowego:
c = (Z' Z) −1 Z' v
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
4
9
b
y = b0 + 1
x
Hiperbola
β1 0
β0
β1
(…)
… log x
b1 > 0
Linearyzacja …
Pomocnicze zmienne …
X0
b1 < 0
Jeśli funkcja logarytmiczna oparta jest
na logarytmie dziesiętnym to
2008-09-18
x0 = 10
−
b0
b1
M. Burzala, Ekonometria, wykład 3
14
29
Uzupełnienie (błąd: delta > 0!!!)
Wielomian stopnia drugiego
y = ax 2 + bx + c
Linearyzacja …
∆<0
Pomocnicze zmienne …
a>0
x1
x2 a<
a<0
x 1 ,2 = ( - b + √ ∆ ) /4 a
-
2008-09-18
M. Burzala, Ekonometria, wykład…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)