O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI:
(całka nieoznaczona)
Jeśli funkcja f,g:(a,b)→|R są różniczkowalne oraz
funkcje f'*g ma funkcje pierwotną, to funkcja f*g' ma funkcję pierwotną i zachodzi równość
⌡f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-⌡f'(x)g(x)dx
O CAŁKOWANIU PRZEZ PODSTAWIANIE:
(całka nieoznaczona)
Jeśli funkcja F:(a,b) →|R jest funkcją pierwotną funkcji
f(a,b) →|R, a funkcją φ:(α,β)→(a,b) jest różniczkowalna
to funkcję pierwotną funkcji (f°φ)φ' jest funkcja F°φ oraz
⌡f(φ(x))φ'(x)dx= ⌡f(t)dt , gdzie t= φ(x)
WARUNEK KONIECZNY CAŁKOWALNOŚĆI: Jeśli funkcja f jest całkowalna,to jest ograniczona.
WARUNKI WYSTARCZAJĄCE CAŁKOWALNOŚC
(i)każda funkcja ciągła f:[a,b] →|R jest całkowalnaW [a,b]
(ii) każda funkcja monotoniczna f:[a,b] →|R jest całkowalna
W [a,b]
O CAŁKOWANIU PRZEZ CZĘŚCI (całka oznaczona)
Jeśli funkcje f,g:[a,b] →|R mają ciągłe pochodne to: ⌡ba f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]x=bx=a -⌡ba f '(x)g(x)dx
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIANIE WZÓR
(całka oznaczona)
⌡βα f(φ(x))φ'(x)dx=⌡φ(β)φ(α) f(t)dt TW.WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI F.CIĄGŁYCH: niech f:[a,b] →|R będzie funkcją ciągłą. Wówczas istnieje ciąg
wielomianów Wn:[a,b] →|R dla nє|N zbieżny jednostajnie.
KRYTERIUM WEIERSTRASSA
Niech Xє|R,f, ,f2....:x→|R. jeśli (an:nє|N) jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że |fn(x)|≤an, xєX, n≥n0 oraz szereg Σ∞n=1 an jest zbieżny, to szereg funkcyjny
Σ∞n=1 fn(x) jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w x
TWIERDZENIE CAUCHY'EGO - HADAMARA
Jeśli istnieje λ=limn→∞n√|an| ,to promień zbieżności
R szeregu potęgowego Σ∞n=0 anxn wyraża się
{ 1/λ ,λє (0,+∞)
R= { +∞, λ=0
{ 0, λ=+∞
SZEREG FOURIERA
Niech f:[-Π, Π] →|R będzie funkcją całkowalną.
Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg
Trygonometryczny o współczynnikach określonych Wzorami Eulera-Fouriera:
an = 1/ Π ⌡Π-Πf(x)cos nx dx, n= 0,1,2,...
bn = 1/ Π ⌡Π-Πf(x)sin nx dx, n= 0,1,2,...
SZEREG COSINUSÓW
Jeśli funkcja f :[-Π, Π] →|R spełnia warunek Dirichleta
i jest parzysta to: an = 2/ Π ⌡Π 0 f(x)cos nx dx, n= 0,1,2,...
bn=0, n=1,2...
SZEREG SINUSÓW
Jeśli funkcja f :[-Π, Π] →|R spełnia warunek Dirichleta
i jest nieparzysta to: an=0, n=1,2...
bn = 2/ Π ⌡Π0 f(x)sin nx dx, n= 0,1,2,...
(…)
… kwadratowa A jest nieosobliwa, gdy detA≠0
MACIERZ ODWROTNA
Jeśli dla danej macierzy kwadratowej A istnieje macierz B
Spełniające równanie A*B = B*A = I, to tę macierz B
Nazywamy macierzą odwrotną A i oznaczamy A-1 RZĄD MACIERZY: Rzędem macierzy nazywamy największy stopień jej niezerowego
minora. Rząd macierzy A oznaczamy r(A). przyjmujemy, że
rząd macierzy zerowej jest równy zero. MINOR MACIERZY…
… warunek Dirichleta
i jest nieparzysta to: an=0, n=1,2...
bn = 2/ Π ⌡Π0 f(x)sin nx dx, n= 0,1,2,...
oraz f(x)= Σ∞n=1 bn sin nx dx
JEDNOSTKA UROJONA
i = (0,1)
POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
(GAUSS,EULER)
(x,y) = x+yi , x,yє|R
POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Jeśli zєD, to: z = |z| (cosφ + isinφ) gdzie φ = Arg z
Re,Im
Niech z= x+yi , x,yє|R Wówczas:
(i) Re z = x - część rzeczywista liczby zespolonej z
(ii) Im z = y - część urojonaliczby zespolonej z
LICZBA SPRZĘŻONA
Niech z =x+yi , x,yє|R. wówczas ž określone wzorem
Ž = x-yi nazywamy liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z
PIERWIASTEK Z LICZBY ZESPOLONEJ: Niech nє|N. pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej w
Nazywamy każdą liczbę zespoloną spełniającą równanie
zn = w
MODÓŁ LICZBY ZESPOLONEJ
Jeśli z =x+yi , x,yє|R, to : |z| = √x2 + y2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)