To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 9: Całka nieoznaczona 5 grudnia 2012 Motywacja Problem 1. Kropla wody o ´srednicy 0 , 07 mm porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛ a v ( t ) = g c (1 − e −ct ) , gdzie g oznacza przy´spieszenie ziemskie, a stała c = 52 , 6 1 s została wyznaczona eksperymentalnie. W chwili t = 0 pr˛edko´s´c jest równa 0 . Chcemy znale´z´c drog˛e s ( t ), jak ˛ a przebyło ciało po upływie czasu t . Pr˛edko´s´c małej kropli 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.00 0.05 0.10 0.15 t v(t) Rysunek 1: Pr˛edko´s´c kropli o ´srednicy 0 , 07 mm w zale˙zno´sci od czasu Funkcja pierwotna Problem sprowadza si˛e do znalezienia funkcji s ( t ) takiej, ˙ze s ( t ) = v ( t ) , t ∈ (0 , ∞ ) . (1) Definicja 1 (funkcji pierwotnej). Funkcja F jest funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f na przedziale otwartym I , je´sli F ( x ) = f ( x ) dla ka˙zdego x ∈ I . Uwaga Je˙zeli funkcja f jest okre´slona na przedziale domkni˛etym [ a, b ], to F nazywamy funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f , je˙zeli F ( x ) = f ( x ) dla x ∈ ( a, b ) , F +( a ) = f ( a ) , F− ( b ) = f ( b ) . Funkcja pierwotna — przykłady Przykład 1. Funkcjami pierwotnymi f ( x ) = x 3 na przedziale I = R s ˛ a na przykład: • F 1( x ) = x 4 4 + 2; • F 2( x ) = x 4 4 − 3 . Twierdzenie 1. Niech F b˛edzie funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f na przedziale I . Wtedy (i) G ( x ) = F ( x ) + C , gdzie C ∈ R, jest funkcja pierwotn ˛ a funkcji f na I , (ii) ka˙zd ˛ a funkcj˛e pierwotn ˛ a funkcji f na I mo˙zna przedstawi´c w postaci F ( x ) + D , gdzie D ∈ R. Uwaga. Powy˙zsze twierdzenie mówi o postaci funkcji pierwotnych dla ustalonej funkcji. Funkcje pierwotne maj ˛ a posta´c F ( x ) + C Twierdzenie 2. Je˙zeli funkcja jest ci ˛ agła na przedziale, to ma funkcj˛e pierwotn ˛ a na tym przedziale. Uwaga. Funkcja pierwotna funkcji elementarnej nie musi by´c funkcj ˛ a elementarn ˛ a, np. pierwotna funkcji: f ( x ) = e −x 2 nie jest funkcj ˛ a elementarn ˛ a. Uwaga Poj˛ecie funkcji elementarnej zostało okre´slone podczas wykładu 2-go (por. Definicja 15) 1 Całki nieoznaczone Definicja 2 (całki nieoznaczonej). Niech F b˛edzie funkcj ˛ a pierwotn ˛ a funkcji f na przedziale I . Całk ˛ a nieoznaczon ˛ a funkcji f na przedziale I oznaczamy zbiór funkcji {F ( x ) + C : C ∈ R } . Całk˛e nieoznaczon ˛ a funkcji f oznaczamy przez f ( x ) dx. Całka oznaczona — notacja
(…)
… = x sin x + cos x + C.
2
Całkowanie przez podstawienie- podstawienie liniowe
Twierdzenie 5. Je´li
s
f (t)dt = F (t) + C,
to
1
F (ax + b) + C.
a
f (ax + b)dx =
˙
Dowód wynika z twierdzenia o pochodnej funkcji złozonej:
[F (ax + b)] = aF (ax + b) = af (ax + b).
Przykłady. Z twierdzenia 5 wynika:
1
(i) cos mx dx = m sin mxdx + C,
1 −2x
−2x
(ii) e
dx = − 2 e
+ C.
˙
Twierdzenie 6 (o całkowaniu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)