Przykład 4.25 Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji:
f (x) = (sinh x)2 ,
g(x) = − cosh x
.
4.6
Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkty przegięcia
Definicja 4.11 ( Zbioru wypukłego )
Niech X będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Zbiór D ⊂ X nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych x1 , x2 ∈ D i α ∈ 0, 1
αx1 + (1 − α)x2 ∈ D
Przykład 4.26 Niech X = Rn , x1 , x2 ∈ Rn .
Odcinek łączący punkty x1 , x2 ∈ Rn zdefiniowany w następująco:
x1 , x2 = {x ∈ Rn : x = αx1 + (1 − α)x2 , α ∈ 0, 1 }
jest zbiorem wupukłym.
Uwaga 4.9 Zbiór D ⊂ Rn jest wypukły, jeżeli z każdymi dwoma punktami x1 , x2 ∈ D
do zbioru tego należy również odcinek łączący te punkty.
Przykład 4.27 Przedział otwarty (a, b) ⊂ R jest zbiorem wypukłym.
Definicja 4.12 ( Wypukłości funkcji )
Niech f będzie funkcją rzeczywistą f : (a, b) → R . Funkcję tę nazywamy wypukłą w
(a, b) , jeżeli dla każdych dwóch punktów x1 , x2 ∈ (a, b) i każdego α ∈ 0, 1 , spełniona
jest nierówność
f (λx1 + (1 − λ)x2 )
λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ).
(6)
Jeżeli spełniona jest nierówność przeciwna ( ) , to funkcję nazywamy wklęsłą w (a, b) .
Przykład 4.28
Pokazać, że funkcja f (x) = |x| jest wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Weźmy dwa dowolne punkty x1 , x2 ∈ R i dowolne λ ∈ 0, 1 . Wówczas
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = |λx1 + (1 − λ)x2 | |λx1 | + |(1 − λ)x2 | = |λ||x1 | + |1 − λ||x2 | =
λ|x1 | + (1 − λ)|x2 | = λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) .
♥
Definicja 4.13 ( ścisłej wypukłości funkcji )
Funkcję f : (a, b) → R nazywamy ściśle wypukłą w (a, b) , jeżeli dla każdych dwóch
punktów x1 , x2 ∈ (a, b), (x1 = x2 ) i każdego λ ∈ (0, 1) spełniona jest nierówność
f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ) , to funkcję nazywamy ściśle wklęsłą w
(a, b) .
29
Przykład 4.29 Wykazać, że funkcja f (x) = x2 jest ściśle wypukła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Dowód:
Niech x1 , x2 będą dwoma różnymi punktami należącymi do R, a λ dowolną liczbą z przedziału (0, 1) . Wówczas f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = [λx1 + (1 − λ)x2 ]2 =
[λ(x1 − x2 ) + x2 ]2 = λ2 (x1 − x2 )2 + 2λ(x1 − x2 )x2 + x2 0) taka, że dla x ∈ (x0 − δ, x0 ) funkcja jest ściśle wypukła
( ściśle wklęsła), a dla x ∈ (x0 , x0 + δ) ściśle wklęsła ( ściśle wypukła ).
Twierdzenie 4.16 (Warunek wystarczający ścisłej wypukłości ( ściśłej wklęsłości ))
Jeżeli f ∈ D2 ((a, b)) i f ′′ (x) 0 (f ′′ (x) 0 , że dla x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), f ”(x) 0 lub f ”(x)
(…)
… ′′′ (x0 ) = 0 .
Przykład 4.31 Wyznaczyć przedziały ścisłej wklęsłości i ścisłej wypukłości oraz punkty
przegięcia funkcji :
a) f (x) = x3 ,
4.7
c) f (x) = xe−x ,
b) f (x) = sinh x ,
d) f (x) = e−x
2
Asymptoty wykresu funkcji
Definicja 4.16 (Asymptota pionowa lewostronna wykresu funkcji)
Prosta x = a nazywa się asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji
y = f (x) , jeżeli
lim f (x) = ∞ albo lim f (x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)