Hipoteza kontinuum CH: ℵ1 = c Twierdzenie (Gödel) (1940 - ta sama praca): ZFC + CH jest niesprzeczne Twierdzenie (Cohen, 1963): ZFC + ~ CH jest niesprzeczne Zatem CH jest zdaniem niezależnym od teorii mnogości. c może być dowolnie duże w hierarchii. Każdy nieskończony zbiór liczb rzeczywistych...
Indukcja matematyczna jako specyficzna metoda dowodzenia 1. Indukcja w wersji starożytnej (Euklides), przez wyczerpywanie. p jest
Konstruowanie uzasadnień, budowa dowodów w ramach określonych teorii Podstawowe konstrukcje dowodowe (odwołują się do kształtu dowodzonej tezy) (1) Teza dowodzona jest postaci „φ ⇒ ψ” Teza: φ ⇒ ψ Dowód. Załóżmy, że φ. (...) Zatem ψ. □ Jeżeli poprzednik jest prawdziwy, to następnik też (wyklucze...
LICZBY PORZĄDKOWE Pierwotnie - typy dobrych porządków, czyli klasy abstrakcji porządków równolicznych. Błędne - robione w sprzecznej teorii (Frege). Von Neumann - wybranie repre...
Relacje Relacjami binarnymi (dwuargumentowymi) nazywamy pary (A, R) takie, że R ⊆ A2. Zbiór A nazywamy dziedziną takiej relacji. Dla dowolnego zbioru A A1 = A An+1 = An × A Niech (A, R) - relacja binarna. (A, R) jest zwrotna ⇔Df ∀x∈A (x, x)∈R (A, R) jest symetryczna ⇔Df ∀x ∀y [(x, y)∈R ⇒ (y, ...
Wartościowaniem w M nazywamy dowolne przyporządkowanie : V → |M| Jeśli (y) = b∈|M|, to możemy myśleć o zmiennej y jako o imieniu własnym dla b. Trójargumentowa relacja spełniania: M |= φ [ ] czytamy: φ jest spełnione w M przy wartościowaniu . Ze względu na konstrukcję formuły można zdefiniować i...
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Dla każdej liczby naturalnej n 1 istnieje dokładnie jeden ciąg liczb pierwszych q1, ... , qn oraz ciąg liczb większych od 0 a1, ... , am taki, że q1 1 ⇒ ∃p (p jest liczbą pierwszą ∧ p | n)] Lemat 2. ∀n ∀m [(n | m ∧ m ≠ 0) ⇒ n ≤ m] Lemat 3. ∀a ∀b ∀p [(a 1 ∧ b ...
Akt wypowiedzeniowy to czynność wytwarzania wypowiedzi w sensie fizycznym. Może być wykonywany aktywnie albo pasywnie. Aktywnie wykonywana jest emisja wypowiedzi a pasywnie jej odbiór. Nasz umysł ma zdolność do aktywnego produkowania wypowiedzi a także do ich odbioru. Jesteśmy zdolni do odróżniania ...
Ćwiczenia z tradycyjnego rachunku nazw Jaki poprawny wniosek można wyprowadzić z dwóch następujących przesłanek: Wszystkie piękne rzeczy są drogie. Niektóre piękne rzeczy są zrobione z niedrogich materiałów. Schemat tego sylogizmu będzie następujący: M i P (Niektóre piękne rzeczy są zrobione z ...
Aksjomatyczna postać rachunku zdań Systemy aksjomatyczne nowoczesnej nauki charakteryzuje nie tylko lista twierdzeń pierwotnych. Drugim składnikiem każdego z takich systemów jest zbiór zasad dowodzenia, nazywanych regułami inferencji. Pierwszym stadium konstrukcji pełnego systemu aksjomatycznego lo...
