Cichacz. Notatka składa się z 2 stron. Algebra-Zestaw 1 Grupy I 1. Czy mnożenie liczb jest działaniem w zbiorze liczb niewymiernych? 2. Czy działanie ⊕ określone w zbiorze liczb R wzorem a ⊕ b = b + a − 3 jest przemienne i łąc...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 3 Izomorfizm grup, rz¸ad elementów 1. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy Z 18 w grupę Z 15. 2. Niech ϕ : G → G będzie homomorfizmem grup i niech e i e będą elementami neutralnymi grup G i G . Udowodnić, że ϕ ( e ) = e . 3. Niech ϕ :...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 4 Podgrupy 1. Udowodnij, że niepusty podzbiór H grupy G nazywamy podgrupą grupy G , jeśli spełniony jest warunek: ∀a,b∈Hab− 1 ∈ H 2. Udowodnij, że każda podgrupa grupy Z jest w postaci n Z , gdzie n ∈ N ∪ { 0 } . 3. Dla każdego a ∈ Z ∗ 9...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 5 Podgrupy, arytmetyka modularna 1. Wykaż, że jeśli w grupie skończonej G zbiór S ̸ = ∅ jest zamknięty ze względu na działanie grupowe, wówczas S jest podgrupą. 2. Wykaż, że podgrupa grupy...
Cichacz. Notatka składa się z 2 stron. Zestaw 6 Działanie grupy na zbiór , lemat Burnside’a 1. Sprawdzić, czy przyporządkowanie φt (( a, b )) = ( a + t, b + t ) określa działanie grupy G = R w zbiorze R 2. Jeśli tak, to wyznacz orbity i stabilizatory względem tego działania. 2. Sprawdzi...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 7 Metoda Rabina i RSA Metoda Rabina 1. Wiedząc, że n = 5133 oraz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 RIA KA DY O TY MA GA EK WA TE zakoduj słowa: MATEMATYKA, TEORIA. 2. Metodą Rabina rozkoduj wiadomość E ( M ) = 2577(mod 8549) – imię osoby, z którą ma się spotka...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 8 Grupy ilorazowe 1. Wyznaczyć warstwy grupy Z 9 względem podgrupy H = { 0 , 3 , 6 } . 2. Niech H będzie podgrupą grupy G . Wykaż, że dla każdego a ∈ G zachodzi równość aH = Ha ...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 9 Twierdzenia Sylowa 1. Znajdź sprzężenia H = { 1 , 8 , 13 , 20 } w grupie Z ∗ 21 oraz N Z ∗ 21 ( H ). 2. Niech σ = (12)(34). Znajdź sprzężenia ⟨σ⟩ w grupie A 4 oraz NA 4 ( ⟨...
Cichacz. Notatka składa się z 2 stron. Zestaw 10 Piercienie 1. Sprawdzić, że dany zbiór funkcji, względem zwykłego dodawania i mno- żenia tworzy pierścień. Czy pierścień ma jedynkę? (a) {f ∈ C [ a, b ] : f ( a ) = f ( b ) } (b) {f ∈ C [ a, b ] : f ( a ) ∈ Q } (c) {f ∈ C ( a, ∞ ) : lim x→∞ f ...
Cichacz. Notatka składa się z 1 strony. Zestaw 11 Ideały 1. Udowodnić, że pierścienie Z[ √ 5] i Z[ i ] nie są izomorficzne. 2. Udowodnić, że jeśli pierścienie A i B są izomorficzne, to pierścienie A [ X ] i B [ X ] też są izomorficzne. 3. Wykaż, że jeśli φ : A → B jest homomorfizmem pierście...
