Przestrzenie Metryczne Definicja Niech X - zbór, X ≠∅ Metryką (odległością) w zbiorze X nazywamy funkcję d : ( M0 ) d : X × X [ 0, ∞ (nieujemność) o własnościach: ( M1 ) ∀ x , y ∈ X : d x , y =0 ⇔ x = y ( M2 ) ∀ x , y ∈ X : d x , y = d y , x (symetria) ( M3...
1 Twierdzenie (reguła de L’Hospitala) Zało enia ( ) { } R x b a g f → 0 \ , : , ( ) { } ( ) 0 \ , , x b a D g f ∈ , x0 – punkt skupienia zbioru (a,b) , tzn. [ ] b a x , 0 ∈ ( ) ( ) { } 0 \ , 0 x b a x x g ∈ ≠ ′...
1 Twierdzenie Rolle’a [ ] ( ) ( ) ( ( ) ( ) b f a f b a D f b a C f = ∈ ∈ , , Dowód twierdzenia Rol e’a z twierdzenia Weierstrass’a (o osi ganiu kresów) mamy [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ( ) [ ] [ = = ∈ ∃ ∈ b a f x f b a f x f b a x x b a C f , sup , inf : , , , 2 1 2 1 co inaczej m...
1 Twierdzenie Taylora Zało enie [ ] ( ) ( ) ( x x D f x x C f n , , 0 0 1 ∈ ∧ ∈ − Teza ( ) ( ) ( )( ) ( ) c R x x k x f x f x x c n n k k k + − = ∈ ∃ − = 1 0 0 0 ) ( 0 ! : , , gdzie ( ) ( )( ) n n n x x n c f R 0 ! − = n R - n -ta reszta (w postaci Lagrange’a) lub i...
1 Wielomiany Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W ( x ) = an x n + a n− 1 x n− 1 + . . . + a 1 x + a 0 , gdzie n ∈ N ∪ { 0 } , a 0 , a 1 , . . . , an ∈ R oraz an = 0 . Liczby a 0 , a 1 , . . . , an nazywamy współczynnikami wielomianu , p...
1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 , , 0 0 x x x f x f x f x x b a x x − ′ + ∀ ⇔ ≠ ∧ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 , , 0 0 x x x f x f x f x x b a x x − ′ + ′ ∈ f b a C f Dowód: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 , , x x x f x f x f x x c f x x x f x f x f x x b a x...
f(x) f'(x) ∫xa dx xa+1/(a+1) + C ;a≠-1 C 0 ∫1/x dx ln|x| + C xa axa-1 ∫ax dx ax/lna + C ;a0, a≠-1 ex ex ∫ex dx ex + C ax axlna ∫sinx dx cosx + C ln|x| 1/x ∫cosx dx -sinx + C loga|x| 1/(xlna) ∫1/sin2x dx -ctgx + C sinx cosx ∫1/cos2x dx tgx + C cosx -sinx ∫1/√(1-x2) dx arcsinx + C tgx 1/cos2x ∫1/(1...
Wzory podstawowe: C a a dx a C x C x dx x C dx x x + = − ≠ + + − = + = = + ln 1 , 1 1 , ln 0 1 α α α α α + = + − = + = C x xdx C x xdx C e dx e x x sin cos cos sin C arctgx x dx C ctgx x dx C tgx x dx + = + + − = + = 2 2 2 1 sin cos C x x dx C x x dx C arcctgx x dx + = − − + = − + = + − ar...
1 Wzory rekurencyjne Niech ( ) + = n n x dx I 2 1 , N n ∈ Wtedy C arctgx I + = 1 ; a dla 2 ≥ n : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 − − − − − − − − + − − − + − + − − ...
1 Zastosowania geometryczne całki oznaczonej (A) Pole obszararu płaskiego |P | = b a |f ( x ) | dx Założenie: funkcja f ( x ) jest ciągła dla x ∈ [ a, b ] . 2 |P | = d c |f ( y ) | dy Założenie: funkcja f ( y ) jest ciągła dla...
