PŁASZCZYZNA 1. Określić położenie płaszczyzny względem układu współrzędnych. (a) 0 2 3 4 z y (b) 0 1 7 2 y x (c) 0 9 2 y (d) 0 12 3 z 2. Znaleźć równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny 2 3 4 1 0 x y z przechodzącej przez punkt ) 1 , 4 , 2 ( P . 3. Znaleźć...
POCHODNA. Obliczyć pochodną funkcji: Odpowiedź. Odpowiedź. f(x) f’(x) f(x) f’(x) 1. x x x 3 3 2 5 5 1 2. x x 2 3 3. 3 10 x 4. 3 1 2 1 1 x x x 5. 4 3 4 6 x x 6. x x 3 7. tgx x 8. x x cos 2 9. x x ln ) 1 ( 2 10. 2 cos x x 11. 1 2 2 x x 12. x x sin...
PROSTA 1. Dany jest punkt ) 1 , 2 , 1 ( P oraz płaszczyzna H x y z : 2 3 1 0 . Znaleźć równanie prostej l l H , , przechodzącej przez punkt P. 2. Dana jest prosta 2 2 2 3 : t z t y t x l . Czy punkty ) 2 , 1 , 7 ( 1 P , ) 10 , 3 , 13 ( 2 P leżą na tej prostej? 3. ...
1 SZEREG LICZBOWY 1. 1. Zapisać szereg w postaci skróconej. Czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu ? (a) 1 2 3 4 5 6 7 8 (b) 1 1 1 3 1 5 1 7 (c) 4 1 3 1 2 1 1 1 sin sin sin sin 2. Określić n ty wyraz szeregu. Czy szereg jest zbieżny? ...
2 SZEREG O WYRAZACH DODATNICH. SZEREG O WYRAZACH DOWOLNYCH 2. 1. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregu (a) 1 1 1 n n (d) 2 1 2 1 n n n (g) 1 2 2 3 1 n ) n ( (j) n n n sin 3 1 1 (b) 1 1 5 1 ( ) n n n (e) 1 2 1 2 1 1 ( ) n n n (h) 1...
TW. KRONECKERA-CAPELLI’EGO 1. Wyznaczyć rząd macierzy A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 1 2 1 1 3 1 1 4 3 1 5 9 8 1 C 1 1 0 2 1 3 1 1 3 2 1 3 1 1 0 D 2 1 3 1 4 1 E 2 1 1 2 3 1 0 2 F 3 1 1 2 6 2 2 4 G 0 3 5 4 1 1 1 1 2 1 3 2 H 1 1 2 2 3 3 M 2 4 5 1 2 3 N 2 1 0 0 1 2 1 0 2 ...
1 Wykład pierwszy Oznaczenia N – zbiór liczb naturalnych Z – zbiór liczb całkowitych Q – zbiór liczb wymiernych R – zbiór liczb rzeczywistych ∀ – kwantyfikator ogólny – ”dla każdego” ∃ – kwantyfikator szczegółowy – ”istnieje” Podstawowe własności funkcji X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X ...
Wykład drugi Ciągi liczbowe Def. 1. Ciągiem liczbowym (nieskończonym) nazywamy każdą funkcję a określoną na zbiorze liczb naturalnych N o wartościach rzeczywistych. Wartość funkcji a ( n ) oznacza się przez an i nazywa n - tym wyraz...
Wykład trzeci Ciągłość funkcji Zał. Funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0. Definicja 1. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, jeśli lim x→x 0 f ( x ) = f ( x 0). Uwaga 1. Suma ( f + g ), różnica ( f − g ), iloczyn ( f · g ) oraz iloraz f g , gdy g ( x 0) = 0 funkcji...
Wykład 15 Szeregi liczbowe ( an ) n∈ N – dowolny ciąg liczbowy (nieskończony); Definiujemy nowy ciąg ( Sn ) o wyrazie ogólnym Sn df = a 1 + · · · + an = n k =1 ak . Def. Ciąg liczbowy ( Sn ) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogó...
