Biotechnologia I sem. M.Twardowska Ciągi liczbowe 1 Ciągi i ich granice. • Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli an , bn , cn są takimi ciągami liczbowymi, że dla każdego n ∈ N, lim cn = g, to ciąg bn jest zbieżny i lim bn = g n→∞ an ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica i ciągłość funkcji. sin x x→0 x • Podstawowe granice: lim = 1, lim x→±∞ 1+ 1 x x = e, lim x→±∞ 1− 1 x x = 1, e 1 lim (1 + x) x = e. x→0 • Gdy f...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Pochodna funkcji 1 Pochodna funkcji. f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x→0 ∆x • Pochodna funkcji f (x) w punkcie x0 to f (x0 ) = lim • Jeżeli y = f (x) ma pochodną f (x) oraz funkcja z = g(y) ma pochodną g (y...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. 1 Twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Badanie przebiegu zmienności funkcji. • Tw. Rolle’a Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale a, b to istnie...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Całki nieoznaczone 1 Całkowanie przez części i przez podstawienie. • Całkowanie przez części. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne, to u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Całki oznaczone 1 Całki oznaczone. Równanie krzywej y = f (x), a x b β b S= Pole figury płaskiej ograniczonej krzywą i odpowiednimi odcinkami α β b l= |y(t)x (t)| dt S= f (x) dx a
M. Twardowska Funkcje cyklometryczne 1 Funkcje cyklometryczne Funkcje trygonometryczne sin x, cos x, tg x odwrotne). Z tego powodu zawężamy te funkcje Def: ...
1. Łańcuch oddechowy 2. Transport pęcherzykowy Pęcherzyki transportujące transportują białka rozpuszczalne wraz z błoną z ER do aparatu Golgiego i stamtąd do innych miejsc przeznaczenia: - droga sekrecyjna prowadzi od biosyntezy białek...
M.Twardowska Szeregi liczbowe 1 Szeregi liczbowe. Def 1. Jeżeli dany jest ciąg (an ) liczb rzeczywistych, to możemy utworzyć ciąg: s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ..., n ak , sn = a1 + a2 + . . . + an = k=1 ...
Biotechnologia I sem. M.Twardowska Macierze 1 Wyznacznik i rząd macierzy. Macierz odwrotna. • Załóżmy, że A jest macierzą kwadratową stopnia n, n 1 . Niech 1 i, j n . Wtedy s...
