Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest praktyczne sprawdzenie wiedzy na temat popularnych metod rozwiązywania zagadnień początkowych równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych. Porównanie przydatności poszczególnych metod...
Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach p1 (x) = p1 p0 (x) = p0 (*) y” + p1 y ` + p0 y = f (x) (**) y” + p1 y ` + p0 y = 0 y = erx y'= rerx y” = r2erx r2 erx + p1r erx + p0 erx = 0 r2 + p1r + p0 = 0 - równanie charakterystyczne Δ0 wówczas mamy 2 różne pierwiastki r...
Równania różniczkowe liniowe rzędu n Def. Równanie y(n) + pn-1 (x) y(n-1) + pn-2 (x) y(n-2) + ...+ p1 (x) y' + p0 (x) y = f (x) gdzie pk k = 0, 1, ..., n-1. f są funkcjami r...
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Def. Równanie gdzie p i g są funkcjami ciągłymi w (a, b) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Def. Równanie [ w (1) g(x) = 0] nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Tw. CORN = CORJ + CSRN gdzie CORN - całka ogólna równania...
Równania różniczkowe rzędu II i wyższe F (x, y, y', y”) = 0 F (x, y, y', y”, ..., y(n)) = 0 y” = f (x, y, y') y(n) = f (x, y, y', y”, ..., y(n-1)) Def. Mówimy, że funkcja Lipschiza ze stałą L (ze względu na zmienne (y1, y2, ...,yn)) w obszarze D, jeżeli dla każdych 2 punktów (x, y1, y2, ...,yn), ...
Równania różniczkowe Def. Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie z niewiadomą funkcją y = y (x) zmiennej x. Liczbę n nazywamy rzędem równania, jeżeli w równaniu występuje pochodna n- tego rzędu a nie występują pochodne wyższych rzędów niż n Def. Całką szczególną (rozwiązaniem szczególn...
Symulacja : symulacja jest możliwością naśladowania warunków rzeczywistych na zasadzie eksperymentu z dowolnie ustaloną liczbą cechujących go parametrów, przy zachowaniu pewnych elementów losowości. Przeprowadza się go w celu obejścia się od innych, czasochłonnych metod. Przykład: symulacja kompute...
Szeregi Fouriera Def. Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg postaci Def. Szeregiem Fouriera dla funkcji f całkowalnej w nazywamy szereg trygonometryczny, w którym n=1, 2, co zapisujemy Szereg Fouriera zbudowany dla funkcji może być zbieżny lub rozbieżny. Jeżeli szereg ten jest zbieżny, przeci...
Szeregi potęgowe Wśród szeregów potęgowych ważną rolę pełnią szeregi: - szereg potęgowy o środku w x0 (1) Zauważmy, że jeżeli szereg (1) jest zbieżny w pewnym punkcie ρ to jest zbieżny dla wszystkich x takich, że , Def. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego (1) nazywamy kres górny wartości bez...
Szeregi: ; Kryterium porównawcze w postaci limesowej: Jeżeli i są szeregami o wyrazach dodatnich i istnieje skończona granica ,to szeregi są jednocześnie zbieżne albo oba są rozbieżne. Kryterium de Alemberta: Jeżeli dla szeregu o wyrazach dodatnich istnieje granica , to g1, to jest rozbieżny Kr...
