PRZESTRZENIE METRYCZNE ZUPEŁNE I NIEZUPEŁNE Definicja Przestrze ń metryczn ą (X,d) nazywamy zupełn ą , gdy ka Ŝ dy ci ą g Cauchy'ego jest zbie Ŝ ny do pewnego elementu tej przestrzeni. Definicja Przestrzenie, które nie s ą zupełne n...
CI Ą GŁO ŚĆ FUNKCJI POMI Ę DZY PRZESTRZENIAMI METRYCZNYMI Definicja (Twierdzenie Hainego o ci ą gło ś ci funkcji) Dane s ą dwie przestrzenie metryczne (X,d), (Y, δ ) oraz funkcja f: X → Y. Funkcj ę tak ą nazywamy ci ą gł ą w x X g...
KRYTERIA ZWARTO Ś CI W NIEKTÓRYCH PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH Kryterium zbie Ŝ no ś ci w R n Wiemy, Ŝ e zbiory zwarte w dowolnej przestrzeni metrycznej s ą domkni ę te i ograniczone. Okazuje si ę , Ŝ e R n z dowoln ą metryk ą d gener...
PRZESTRZENIE METRYCZNE O Ś RODKOWE I NIEO Ś RODKOWE Definicja O ś rodkiem przestrzeni metrycznej (X,d) nazywamy zbiór A X, który jest conajwy Ŝ ej przeliczalny (tzn. sko ń czony lub przeliczalny) taki, Ŝ e: ε 0 x X y A d...
PRZESTRZENIE METRYCZNE Definicja: Przestrzeń metryczna to niepusty zbiór X w którym został w którym został ustalony sposób mierzenia odległość pomiędzy elementami tego zbioru, tzn. została zadana funkcja d:X×X→R, spełniająca nas...
ZBIEZNO ŚĆ W PRZESTRZENIACH METRYCZNYCH Definicja Mówimy, Ŝ e ci ą g 1 ( ) n n x elementów przestrzeni metrycznej (X,d) d ąŜ y wg metryki d do elementu x X gdy lim ( , ) 0 → d x x n n x x n n → → Definicja Mówimy, Ŝ e c...
ZBIORY SPÓJNE W PRRZESTRZENIACH METRYCZNYCH Definicja Zbiór A nazywamy spójnym w przestrzeni metrycznej (X,d), gdy nie istniej ą dwa otwarte zbiory B, C takie, Ŝ e A B ≠ 0 i A C ≠ 0 oraz A B C. Twierdzenie Zbiór A w przestrz...
