Szeregi liczbowe - zadania

Notatkę dodano: 16.07.2013,
Wyświetleń: 157
Podgląd dokumentu

§4. Szeregi liczbowe
1. Dane są szeregi:

a)
n=1
1
n(n+3) ,

b)
n=1
1
(3n−2)(3n+1) ,

c)
n=1
3n +2n
6n .
Wykonać następujące polecenia:
1) Wyznaczyć sumę częściową Sn szeregu.
2) Wykazać zbieżność szeregu.
3) Wyznaczyć sumę S szeregu.
2. Zbadać, czy poniższe szeregi spełniają warunek konieczny zbieżności szeregu:

a)
n=1

b)
n=1

c)
n=1

1
12 ,
d)
(−1)n
2 ,
e)
1
n,
n=1

n=1

f)
n=1

1
√ ,
nn
g)
1
2n ,
h)
3n
2n +1 ,
n=1

n=1

n+1
3n+2 ,
(−1)n
,
n2
(1 −
i)
n=1
1 n
2n ) .
3. Korzystając z kryterium porównawczego lub kryterium granicznego zbadać zbieżność szeregów:

a)
n=1

b)
n=1

c)
n=1
2n
,
n2 +3n

d)
n=1

3n
1+2n ,
e)
3n+1
,
2n3 +1
f)
n=1

n=1

n2
,
2n2 +1
g)
2n−1
,
n3 +2n
h)
2n+1
,
3n3 −2n
i)
n=1

n=1

n=1
3n−1
,
4n2 +n
√1
,
n n+1

√n .
n n+1
4. Stosując kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

a)
n=1

b)
n=1

c)
n=1
3n
n2 +1

,
3n
n! ,
2n−1
2n ,
d)
n=1

e)
n=1

f)
n=1

(n+1)5n
,
3n+2
g)
n
(2n−1)! ,
h)
n!
5n ,
n=1

n=1

i)
n=1
n!
nn ,
(2n)!
2n+1 ,
(2n)!
.
(n!)2
5. Stosując kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:

a)
n=1

b)
n=1

c)
n=1
n+1 n
2n+2 ,
n+1 n
2n+1 ,
n4
3n ,

d)
n=1

e)
n=1

f)
n=1

5
n! ,
g)
3n
n2n ,
h)
2
2n n
,
2n−1
3n
n=1

n=1

i)
n=1
2 2n+1
,
3
n2 +1
,
2n+3
2n+1 n
.
n+2
12
6. Stosując kryterium Leibniza zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych:


3
(−1)n 3n+1 ,
d)
n+1
(−1)n n2 +1 ,
e)
1
(−1)n √n+2 ,
a)
f)
n=1

b)
n=1

n=1

c)
(−1)n
1 n+1
,
2
1
(−1)n n(n+1) ,

g)
n=1
(−1)n 3n ,
n
h)
n=1

n=1

1
(−1)n n! ,
(−1)n n1n ,
n=1

1
(−1)n ln n .
i)
n=1
n=2
7. Zbadać czy szeregi z zadania poprzedniego są bezwględnie zbieżne.1
8. Zbadać bezwzględną zbieżność szeregów:

a)
1
(−1)n n ,

d)
n=1

b)
c)
(−1)n √nn+1 ,
5
n=1

1
(−1)n √n ,
3
n=1
1
(−1)n 21 ,
n

g)
n=1

e)
f)
n+1
(−1)n n4 ,
3n−1
n=1

(−1)n n+1 ,
n+5
n=1
n!
(−1)n nn ,
n=1

h)
n
(−1)n 3 3 ,
n
n=1

i)
(−1)n 21 .
n!
n=2
Wskazówka: w przykładzie i) skorzystać z nierówności ln n