Szeregi liczbowe - zadania

Notatkę dodano: 16.07.2013,
Wyświetleń: 157
Podgląd dokumentu

§4. Szeregi liczbowe

1. Dane są szeregi:

a)

n=1

1

n(n+3) ,

b)

n=1

1

(3n−2)(3n+1) ,

c)

n=1

3n +2n

6n .

Wykonać następujące polecenia:

1) Wyznaczyć sumę częściową Sn szeregu.

2) Wykazać zbieżność szeregu.

3) Wyznaczyć sumę S szeregu.

2. Zbadać, czy poniższe szeregi spełniają warunek konieczny zbieżności szeregu:

a)

n=1

b)

n=1

c)

n=1

1

12 ,

d)

(−1)n

2 ,

e)

1

n,

n=1

n=1

f)

n=1

1

√ ,

nn

g)

1

2n ,

h)

3n

2n +1 ,

n=1

n=1

n+1

3n+2 ,

(−1)n

,

n2

(1 −

i)

n=1

1 n

2n ) .

3. Korzystając z kryterium porównawczego lub kryterium granicznego zbadać zbieżność szeregów:

a)

n=1

b)

n=1

c)

n=1

2n

,

n2 +3n

d)

n=1

3n

1+2n ,

e)

3n+1

,

2n3 +1

f)

n=1

n=1

n2

,

2n2 +1

g)

2n−1

,

n3 +2n

h)

2n+1

,

3n3 −2n

i)

n=1

n=1

n=1

3n−1

,

4n2 +n

√1

,

n n+1

√n .

n n+1

4. Stosując kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

a)

n=1

b)

n=1

c)

n=1

3n

n2 +1

,

3n

n! ,

2n−1

2n ,

d)

n=1

e)

n=1

f)

n=1

(n+1)5n

,

3n+2

g)

n

(2n−1)! ,

h)

n!

5n ,

n=1

n=1

i)

n=1

n!

nn ,

(2n)!

2n+1 ,

(2n)!

.

(n!)2

5. Stosując kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:

a)

n=1

b)

n=1

c)

n=1

n+1 n

2n+2 ,

n+1 n

2n+1 ,

n4

3n ,

d)

n=1

e)

n=1

f)

n=1

5

n! ,

g)

3n

n2n ,

h)

2

2n n

,

2n−1

3n

n=1

n=1

i)

n=1

2 2n+1

,

3

n2 +1

,

2n+3

2n+1 n

.

n+2

12

6. Stosując kryterium Leibniza zbadać zbieżność szeregów naprzemiennych:

3

(−1)n 3n+1 ,

d)

n+1

(−1)n n2 +1 ,

e)

1

(−1)n √n+2 ,

a)

f)

n=1

b)

n=1

n=1

c)

(−1)n

1 n+1

,

2

1

(−1)n n(n+1) ,

g)

n=1

(−1)n 3n ,

n

h)

n=1

n=1

1

(−1)n n! ,

(−1)n n1n ,

n=1

1

(−1)n ln n .

i)

n=1

n=2

7. Zbadać czy szeregi z zadania poprzedniego są bezwględnie zbieżne.1

8. Zbadać bezwzględną zbieżność szeregów:

a)

1

(−1)n n ,

d)

n=1

b)

c)

(−1)n √nn+1 ,

5

n=1

1

(−1)n √n ,

3

n=1

1

(−1)n 21 ,

n

g)

n=1

e)

f)

n+1

(−1)n n4 ,

3n−1

n=1

(−1)n n+1 ,

n+5

n=1

n!

(−1)n nn ,

n=1

h)

n

(−1)n 3 3 ,

n

n=1

i)

(−1)n 21 .

n!

n=2

Wskazówka: w przykładzie i) skorzystać z nierówności ln n