Równania Cramera- opracowanie

Notatkę dodano: 24.09.2013,
Pobrań: 4,
Wyświetleń: 118
Podgląd dokumentu

Równania Cramera

Rozwa»my ukªad n równa« o n niewiadomych:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

.

....................................

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn

Z tym ukªadem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wspóªczynników ukªadu i macierz B wyrazów wolnych:

a11 a12 . . . a1n

b1

 a

 b2 

a22 . . . a2n 

A =  21

 ... ... ... ...  B =  ... 

an1 an2 . . . ann

bm

oraz n + 1 wyznaczników, a mianowicie wyznacznik macierzy A zwany wyznacznikiem ukªadu:

W = det A =

a11

a21

...

an1

a12

a22

...

an2

. . . a1n

. . . a2n

... ...

. . . ann

,

i n wyznaczników:

W1 =

b1

b2

...

bn

a12

a22

...

an2

. . . a1n

. . . a2n

... ...

. . . ann

Wn =

, W2 =

a11

a21

...

an1

a12

a22

...

an2

a11

a21

...

an1

...

...

...

...

b1

b2

...

bn

b1

b2

...

bn

. . . a1n

. . . a2n

... ...

. . . ann

, ...,

,

które tworzymy z wyznacznika W w nast¦puj¡cy sposób: je±li j jest któr¡kolwiek z liczb 1, 2, . . . , n, to zast¦pujemy j -t¡ kolumn¦ kolumn¡ wyrazów wolnych.

Twierdzenie 1 Je±li W = 0, to ten ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie:

x1 =

W2

Wn

W1

, x2 =

, . . . , xn =

.

W

W

W

(1)

Denicja 1 Wzory (1) nazywamy wzorami Cramera, a ukªad, którego wyznacznik jest ró»ny od zera nazywamy ukªadem Cramera.

1

Przykªad 1 Rozwi¡za¢ ukªad równa«

 5x + 3y − z = 3

2x + y − z = 1

.

3x − 2y + 2z = −4

Niech

5

A= 2

3

−1

−1  .

2

3

1

−2

Skoro

W

=

5

2

3

3

1

−2

−1

−1

2

= (−1)(−1)1+3

=

−3

13

5

−3

13

−2

4

3

−2

4

−1

0

0

= −(−12 + 26) = −14 = 0,

to rozwi¡zujemy ukªad

 5x + 3y − z = 3

2x + y − z = 1

,

3x − 2y + 2z = −4

który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = −14, wi¦c wyliczymy

Wx , Wy , Wz . Zatem

Wx =

3

1

−4

Wy =

5

2

3

Wz =

St¡d

3

1

−2

−1

−1

2

=

3

1

−4

−1

−1

2

=

5

2

3

3

1

−2

3

1

−4

3 0

1 0

−4 2

−1

−1

2

= 2(−1)5

3

1

= 1(−1)4

−1

11

−1

0

11

3

1

−4

2

0

−2

=

−1

0

7

3 0

1 0

−2 2

= 1(−1)4

Wx

4

2

=

=− ;

W

−14

7

−20

10

Wy

=

=

;

y=

W

−14

7

Wz

2

1

z=

=

=− .

W

−14

7

x=

2

−1

−1

2

−2

−1

7

= −2(−3+1) = 4;

= 2−22 = −20;

0

−2

= 2.

Przykªad 2 Rozwi¡za¢ ukªad równa«

 3x + 2y − 4z = 5

2x + 3y − 6z = 5 .

5x − y + z = 4

3