Ważne! Ta strona wykorzystuje pliki cookie.

Używamy informacji zapisanych za pomocą cookies m.in. do celów reklamowych i statystycznych. Mogą stosować je też współpracujące z nami firmy - m.in. reklamodawcy. W przeglądarce internetowej, w której otwierasz nasz serwis możesz zmienić ustawienia dotyczące cookies. Korzystając z tego serwisu bez zmiany ustawień dotyczących cookies wyrażasz zgodę na ich używanie i zapisywanie w pamięci urządzenia. Więcej informacji znajdziesz w Polityce prywatności i Regulaminie.

Równania Cramera- opracowanie

Nasza ocena:

Pobrań: 10
Wyświetleń: 118

Pobierz ten dokument

przeglądaj dokument na swoim komputerze

lub wydrukuj i korzystaj w dowolnym miejscu

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

Równania Cramera
Rozwa»my ukªad n równa« o n niewiadomych:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
.
....................................
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Z tym ukªadem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wspóªczynników ukªadu i macierz B wyrazów wolnych:




a11 a12 . . . a1n
b1
 a
 b2 
a22 . . . a2n 



A =  21
 ... ... ... ...  B =  ... 
an1 an2 . . . ann
bm
oraz n + 1 wyznaczników, a mianowicie wyznacznik macierzy A zwany wyznacznikiem ukªadu:
W = det A =
a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an2
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . ann
,
i n wyznaczników:
W1 =
b1
b2
...
bn
a12
a22
...
an2
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . ann
Wn =
, W2 =
a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an2
a11
a21
...
an1
...
...
...
...
b1
b2
...
bn
b1
b2
...
bn
. . . a1n
. . . a2n
... ...
. . . ann
, ...,
,
które tworzymy z wyznacznika W w nast¦puj¡cy sposób: je±li j jest któr¡kolwiek z liczb 1, 2, . . . , n, to zast¦pujemy j -t¡ kolumn¦ kolumn¡ wyrazów wolnych.
Twierdzenie 1 Je±li W = 0, to ten ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie:
x1 =
W2
Wn
W1
, x2 =
, . . . , xn =
.
W
W
W
(1)
Denicja 1 Wzory (1) nazywamy wzorami Cramera, a ukªad, którego wyznacznik jest ró»ny od zera nazywamy ukªadem Cramera.
1
Przykªad 1 Rozwi¡za¢ ukªad równa«

 5x + 3y − z = 3
2x + y − z = 1
.

3x − 2y + 2z = −4
Niech

5
A= 2
3

−1
−1  .
2
3
1
−2
Skoro
W
=
5
2
3
3
1
−2
−1
−1
2
= (−1)(−1)1+3
=
−3
13
5
−3
13
−2
4
3
−2
4
−1
0
0
= −(−12 + 26) = −14 = 0,
to rozwi¡zujemy ukªad

 5x + 3y − z = 3
2x + y − z = 1
,

3x − 2y + 2z = −4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = −14, wi¦c wyliczymy
Wx , Wy , Wz . Zatem
Wx =
3
1
−4
Wy =
5
2
3
Wz =
St¡d
3
1
−2
−1
−1
2
=
3
1
−4
−1
−1
2
=
5
2
3
3
1
−2
3
1
−4
3 0
1 0
−4 2
−1
−1
2
= 2(−1)5
3
1
= 1(−1)4
−1
11
−1
0
11
3
1
−4
2
0
−2
=
−1
0
7
3 0
1 0
−2 2
= 1(−1)4
Wx
4
2
=
=− ;
W
−14
7
−20
10
Wy
=
=
;
y=
W
−14
7
Wz
2
1
z=
=
=− .
W
−14
7
x=
2
−1
−1
2
−2
−1
7
= −2(−3+1) = 4;
= 2−22 = −20;
0
−2
= 2.
Przykªad 2 Rozwi¡za¢ ukªad równa«

 3x + 2y − 4z = 5
2x + 3y − 6z = 5 .

5x − y + z = 4
3

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz