Grafy Denicja 1 Graf prosty G skªada si¦ z niepustego zbioru sko«czonego V (G), którego elementy b¦dziemy nazywa¢ wierzchoªkami grafu (lub w¦zªami) i z sko«czonego zbiou E(G) ró»nych par nieuporz¡dkowanych ró»nych elementów zbioru V (G), kt...
Rz¡d macierzy Denicja 1 Mówimy, »e macierz a11 a21 A= ... am1 . . . a1n . . . a2n ... ... . . . amn a12 a22 ... am2 jest rz¦du r, gdy istnieje cho¢ jeden ró»ny od zera minor stopnia r, a wszystkie minory stopnia wy»szego ni» r s¡ równe zero. Rz¡d macierzy b¦dziemy ...
Równania Cramera Rozwa»my ukªad n równa« o n niewiadomych: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn Z tym ukªadem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wspóªczynników ukªadu i macierz B wyrazów wolnych: ...
Twierdzenie Kroneckera-Cappellego Twierdzenie 1 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dany ukªad równa« miaª rozwi¡zanie jest równo±¢ rz¦dów macierzy A i macierzy rozszerzonej (A : B). Niech rz(A) = rz((A : B)) = r. Gdy r równa si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad ma ...
Ukªady równa« Denicja 1 Funkcj¦ f : IRn −→ IR okre±lon¡ wzorem f (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn + a0 , gdzie a1 , a2 , . . . , an , a0 s¡ staªymi, nazywamy funkcj¡ liniow¡ n zmiennych. Liczby a1 , a2 , . . . , an nazywamy wspóªczynnikami, a liczb¦ a0 wyrazem wolnym. Przykªa...
Wektory wªasne i warto±ci wªasne macierzy Niech dana b¦dzie macierz kwadratowa A = [aij ] stopnia n. Denicja 1 Jednokolumnow¡ macierz X= x1 x2 . . . =0 xn speªniaj¡c¡ równanie AX = λX nazywamy wektorem wªasnym macierzy A, a odpowiadaj¡c¡ jej liczb¦ λ warto±ci¡...
Wielomiany Denicja 1 Wielomianem zmiennej x nazywamy ka»de wyra»enie postaci a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk , gdzie ai (i = 0, 1, . . . , k) s¡ liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Denicja 2 Niech f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + ak−1 xk−1 + ak xk i g(x) = b0 + b1 x + b2 x...
Liczby zespolone Denicja 1 Liczb¡ zespolon¡ nazywamy par¦ uporz¡dkowan¡ z = (a, b), gdzie a, b ∈ IR. Zbiór wszystkich liczb zespolonych b¦dziemy oznacza¢ symbolem C. I Przykªad 1 Zaznacz na ukªadzie wspóªrz¦dnych liczby zespolone z1 =...
Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr. Podać określenie przestrzeni metrycznej. Podać określenie przestrzeni towarów. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr. Określić pojęcie liniowej kombinac...
Opisać model Domara-Haroda Funkcja wydatków Prawo Walrasa Funkcja kompensacyjne Substytucja towarów Ścieżka ekspansji cenowej Zależności między C(a) F(a) P(a) Niekorzyści skali produkcji Minimalizacja kosztów produkcji Elastyczność substytucji Zadanko 1 Podane było Q obliczyć wielkość Q d...
