Ważne! Ta strona wykorzystuje pliki cookie.

Używamy informacji zapisanych za pomocą cookies m.in. do celów reklamowych i statystycznych. Mogą stosować je też współpracujące z nami firmy - m.in. reklamodawcy. W przeglądarce internetowej, w której otwierasz nasz serwis możesz zmienić ustawienia dotyczące cookies. Korzystając z tego serwisu bez zmiany ustawień dotyczących cookies wyrażasz zgodę na ich używanie i zapisywanie w pamięci urządzenia. Więcej informacji znajdziesz w Polityce prywatności i Regulaminie.

Matematyka - ciągi liczbowe

Nasza ocena:

Pobrań: 1
Wyświetleń: 106

Pobierz ten dokument

przeglądaj dokument na swoim komputerze

lub wydrukuj i korzystaj w dowolnym miejscu

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:


1 Ciągi liczbowe Definicja Ciągiem liczbowym  nazywamy dowolną funkcję odwzoro- wującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. f  : N  →  R f  ( n ) =  an Oznaczenie: • an  - n-ty wyraz ciągu • {an}  - ciąg Sposoby określania ciągu: • wzorem: an  = cos( nπ ) • rekurencyjnie: a 1 = 1 , a 2 = 3 , an +2 = 2 an  +  an +1 2 •  opisowo: an  - n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π  = 3 ,  14159265358979323846264338327950288419716939937  . . . Znane ciągi: •  Ciąg arytmetyczny: ∃r∈ R  ∀n∈ N an +1  − an  =  r •  Ciąg geometryczny: ∃q∈ R  { 0 } ∀n∈ N an +1 an =  q 3 Definicja Ciąg {an}  nazywamy  ciągiem ograniczonym , jeżeli ∃m,M∈ R ∀n∈ N m an M. Przykład Zbadaj ograniczoność ciągów • an  = 1 n +1 + 1 n +2 +  · · ·  + 1 n + n • an  = ( − 2) n Definicja Ciąg {an}  nazywamy  ciągiem rosnącym malejącym nierosnącym niemalejącym                                                    jeżeli                                                    an  an +1 an an +1 an an +1 4 Praktyczne sposoby badania monotoniczności ciągu: an +1  − an an +1 an , an   0  ciąg jest ...   0   1 rosnący 0 1 niemalejący 0 1 nierosnący 0  ∃n 0 ∈ N ∀nn 0 | an − g | 

(…)


to jest zbieżny.
Jeżeli ciąg {an} jest monotoniczny i ograniczony,
7
Przykład
Rozważmy ciąg {en} o wyrazie ogólnym:

en =




1 n

1 +  .

n

Można wykazać, korzystając z nierówności Bernoulliego, że ciąg ten
jest rosnący. Ponadto jest to ciąg ograniczony.
Twierdzenie
Ciąg {en} jest zbieżny. Granicę tego ciągu oznacza-
my: e , tj.

lim
n→∞




1 n

1 +  = e.

n

8
Arytmetyka granic ciągu…

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz