Matematyka - ciągi liczbowe

Notatkę dodano: 01.05.2013,
Wyświetleń: 103
Podgląd dokumentu

1 Ciągi liczbowe Definicja Ciągiem liczbowym  nazywamy dowolną funkcję odwzoro- wującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. f  : N  →  R f  ( n ) =  an Oznaczenie: • an  - n-ty wyraz ciągu • {an}  - ciąg Sposoby określania ciągu: • wzorem: an  = cos( nπ ) • rekurencyjnie: a 1 = 1 , a 2 = 3 , an +2 = 2 an  +  an +1 2 •  opisowo: an  - n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π  = 3 ,  14159265358979323846264338327950288419716939937  . . . Znane ciągi: •  Ciąg arytmetyczny: ∃r∈ R  ∀n∈ N an +1  − an  =  r •  Ciąg geometryczny: ∃q∈ R  { 0 } ∀n∈ N an +1 an =  q 3 Definicja Ciąg {an}  nazywamy  ciągiem ograniczonym , jeżeli ∃m,M∈ R ∀n∈ N m an M. Przykład Zbadaj ograniczoność ciągów • an  = 1 n +1 + 1 n +2 +  · · ·  + 1 n + n • an  = ( − 2) n Definicja Ciąg {an}  nazywamy  ciągiem rosnącym malejącym nierosnącym niemalejącym                                                    jeżeli                                                    an  an +1 an an +1 an an +1 4 Praktyczne sposoby badania monotoniczności ciągu: an +1  − an an +1 an , an   0  ciąg jest ...   0   1 rosnący 0 1 niemalejący 0 1 nierosnący 0  ∃n 0 ∈ N ∀nn 0 | an − g |