Matematyka

To tylko jedna z 16 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument. Zobacz całą notatkę

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

1 Ciągi liczbowe Deﬁnicja Ciągiem liczbowym nazywamy dowolną funkcję odwzoro- wującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, tj. f : N → R f ( n ) = an Oznaczenie: • an - n-ty wyraz ciągu • {an} - ciąg Sposoby określania ciągu: • wzorem: an = cos( nπ ) • rekurencyjnie: a 1 = 1 , a 2 = 3 , an +2 = 2 an + an +1 2 • opisowo: an - n-ta cyfra po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby π = 3 , 14159265358979323846264338327950288419716939937 . . . Znane ciągi: • Ciąg arytmetyczny: ∃r∈ R ∀n∈ N an +1 − an = r • Ciąg geometryczny: ∃q∈ R { 0 } ∀n∈ N an +1 an = q 3 Deﬁnicja Ciąg {an} nazywamy ciągiem ograniczonym , jeżeli ∃m,M∈ R ∀n∈ N m an M. Przykład Zbadaj ograniczoność ciągów • an = 1 n +1 + 1 n +2 + · · · + 1 n + n • an = ( − 2) n Deﬁnicja Ciąg {an} nazywamy ciągiem rosnącym malejącym nierosnącym niemalejącym                                                    jeżeli                                                    an an +1 an an +1 an an +1 4 Praktyczne sposoby badania monotoniczności ciągu: an +1 − an an +1 an , an 0 ciąg jest ... 0 1 rosnący 0 1 niemalejący 0 1 nierosnący 0 ∃n 0 ∈ N ∀nn 0 | an − g |

(…)

…
to jest zbieżny.
Jeżeli ciąg {an} jest monotoniczny i ograniczony,
7
Przykład
Rozważmy ciąg {en} o wyrazie ogólnym:

en =




1 n

1 +  .

n

Można wykazać, korzystając z nierówności Bernoulliego, że ciąg ten
jest rosnący. Ponadto jest to ciąg ograniczony.
Twierdzenie
Ciąg {en} jest zbieżny. Granicę tego ciągu oznacza-
my: e , tj.

lim
n→∞




1 n

1 +  = e.

n

8
Arytmetyka granic ciągu…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz

Matematyka - ciągi liczbowe

Uniwersytet Wrocławski

Pobierz ten dokument za darmo

Fragment notatki:

Komentarze użytkowników (0)