Ciągi liczbowe - zadania

Notatkę dodano: 16.07.2013,
Pobrań: 1,
Wyświetleń: 224
Podgląd dokumentu

§3. Ciągi liczbowe

1. Wykazać, że ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest ograniczony z góry (z dołu).

1

a) an = 1 + n ,

e) an =

1

b) an = 1 − n ,

f ) an =

n+2−

n−

n,

i) an =

n + 2,

j) an =

n

3n ,

4n2 + 3 − 2n,

c) an =

1

,

n2

g) an = ln n − ln(n + 2),

k) an =

2n+1

3n+5 ,

d) an =

1

2

h) an = ln(n + 2) − ln n,

l) an =

n+5

.

n2 +2

(−1)n + 1 ,

2. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym:

a) an =

2n+3

3n+5 ,

1

e) an = 1 − n ,

b) an =

n+1

,

n2 +1

f ) an =

n2 +1

,

n2

j) an =

c) an =

3n2 +5n+3

,

n2 +1

g) an =

4n+6

n+1 ,

k) an = ln n,

d) an =

4n2 +1

,

3n2 +2

h) an = n2 − n,

i) an =

l) an =

n,

3

n,

n

3n .

3. Obliczyć granicę ciągu:

3·22n+3 −1

n+1 +3 ,

n→∞ 5·4

n+3

,

2

n→∞ 2n −1

q) lim

n2 +2n

,

n→∞ 2n−1

r) lim (2n − 3n + 5n ),

a) lim (n3 − 3n2 + 2n − 5),

i) lim

b) lim (n2 − 5n3 + 1),

j) lim

n→∞

n→∞

3n−5

,

n→∞ 1−n

c) lim

d) lim

n→∞

k) lim

n→∞

n2 −2n+5

,

n2 +3

n5 −n2 +3

1−n2

n→∞

s) lim (3n − 7n ),

,

n→∞

(n+1)(2n+3)

,

n→∞ (3n−2)(n+5)

t) lim (− 1 )n ,

5

n3 +3n2 −5n+7

,

n→∞ (n+1)(n+2)(n+3)

u) lim

3n −2

,

n

n→∞ 3 +2

v) lim

l) lim

100n

,

2

n→∞ n +3

e) lim

n→∞

m) lim

n3 +n2 −1

,

2

n→∞ n −1

n) lim

6n3 −n2 +3

,

2

n→∞ 1−2n

o) lim

f ) lim

h) lim

n→∞

2n −1

,

n

n→∞ 3 +1

32n+1 −7

,

n

n→∞ 9 +4

g) lim

2−5n−10n2

3n+15 ,

p) lim

n→∞

2n −1

,

n

n→∞ 2 +1

4·3n+1 +2·4n

n

n+2 ,

n→∞ 5·2 +4

w) lim

5·52n−1 −5

25n −25 ,

2n +3n

n+1 +3n+1 ,

n→∞ 2

x) lim

4. Obliczyć granicę ciągu:

a) lim

n→∞

b) lim

n→∞

n2 −1

n+1 ,

3

n3 +2n−1

n+2

c) lim

n→∞

,

3

n2 +n

n−2 ,

d) lim ( n + 4 −

n→∞

e) lim (n −

n→∞

n),

n2 + n),

f ) lim (2n− 4n2 + 6n − 5),

n→∞

10

g) lim ( n2 − 1 − n2 − 2),

n→∞

h) lim ( n2 + 2n − n),

n→∞

k) lim ( n4 + n− n4 − n),

n→∞

l)

2

lim √n2 +5−n ,

n→∞ n +2−n

n2 +2n−n

lim 2n−√4n2 +3n ,

n→∞

i) lim ( 4n2 − 17 − 2n),

m)

j) lim ( 4n2 + n − 2n),

n) lim

n→∞

n→∞

n→∞

4 √

,

n2 +2n+7− n2 +1

o) lim ( 3 n3 + 12 − n),

n→∞

p) lim ( 3 n3 + n2 − n),

n→∞

q) lim

n→∞

√ √

n( n + 1 − n),

r) lim

n→∞

n2 +2n+1

.

n+1

5. Obliczyć granicę ciągu:

(−1)n

,

n→∞ n

n2

3n ,

n→∞

e) lim

n!

n,

n→∞ n

f ) lim

(−1)n +2n

3n+1 .

e) an =

(−1)n ·n

n+1 ,

n

n,

n→∞ 2

c) lim

2n

,

n→∞ n!

d) lim

a) lim

b) lim

n→∞

6. Wykazać, że poniższe ciągi nie posiadają granicy:

c) an = (−1)n · n,

a) an = (−1)n ,

b) an = (−1)

n(n+1)

2

,

n

n ·n

d) an = n(−1) ,

1

f ) an = (1 + n )(−1)

.

7. Wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach obliczyć granicę ciągu:

a) lim

n

n→∞

b) lim

n

n→∞

c) lim

n→∞

2n + 3 n + 7 n ,

d) lim

n

n→∞

2 · 3n + 4 · 7n ,

e) lim

n

n→∞

n

3

( 1 )n + ( 4 )n ,

3

f ) lim

n→∞

n

(−1)n

n

+ 2n,

g) lim

n

n→∞

n2 + n,

h) lim

n5 − 2n2 + 3,

i) lim

n→∞

n→∞

n

n3 − n − 2,

n2 + 2n + 5,

n n

3 + n5 + 1.

8. Wykorzystując definicję liczby e obliczyć granicę ciągu:

a) lim

n→∞

n+1 2n+1

,

n

b) lim 1 −

n→∞

c) lim

n→∞

1 n

n ,

3n−1 n+4

,

3n+1

d) lim

n→∞

2

n2 +3 2n +5

,

2 +1

n

e) lim 1 +

n→∞

f ) lim

n→∞

1 n

,

n2

n−1 2n

,

n+3

g) lim

n+4 5−2n

,

n+3

h) lim

2

n2 +2 2n +1

,

n2

n→∞

n→∞

i) lim

n→∞

n2 +3n+2 3n+1

.

n2 +2n

11